Universidad Nacional de Chimborazo
NOVASINERGIA 2019, Vol. 2, No. 2, junio-noviembre (7-16)
ISSN: 2631-2654
https://doi.org/10.37135/unach.ns.001.04.01
Artículo de Revisión
http://novasinergia.unach.edu.ec
Una revisión de modelos de tráfico automotor usando autómatas celulares
A review of automotive traffic models using cellular automata
Luis Bladismir Ruiz
1,2 *
, Ambrosio Tineo
2
1
Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador, 130104
2
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Chimborazo, Riobamba, Ecuador, 060108; ambrosio.tineo@unach.edu.ec
* Correspondencia: lbruiz@utm.edu.ec
Recibido 06 noviembre 2019; Aceptado 02 diciembre 2019; Publicado 10 diciembre 2019
Resumen:
Los autómatas celulares son un modelo matemático utilizado para
estudiar y representar sistemas dinámicos, adecuados para modelar
sistemas naturales como la evolución de virus y bacterias, así como
el flujo de gases, líquidos y del tráfico vehicular y peatonal. El
primer modelo probabilístico no trivial fue presentado por Nagel y
Schreckenberg y cada vez son más los investigadores que se suman
a su aplicación en la vida diaria. En este artículo se plantea una
revisión del comportamiento del flujo vehicular (FV) para vías de
uno y varios carriles, considerando las modificaciones de los
modelos ya existentes y los cambios en la forma de conducir con la
finalidad de conocer el enfoque de los diversos investigadores sobre
el estudio de tráfico vehicular. El estudio revela que el FV se adapta
a las condiciones del tráfico del momento y que el modelo, por su
propiedad, permite modificar reglas de interacción y considerar la
infraestructura de la vía para el modelo de un carril mientras que
los modelos con carriles múltiples son más complejos.
Palabras clave:
Autómata celular, flujo vehicular, modelo de NaSch, modelo
microscópico, modelos de tráfico.
Abstract:
Cellular automata are a mathematical model used to study and
represent dynamic systems, suitable for modeling natural systems
such as the evolution of viruses and bacteria, the flow of gases,
liquids, and vehicular and pedestrian traffic. Nagel and
Schreckenberg presented the first non-trivial probabilistic model.
More and more researchers are adding to its application in daily
life. This article shows a review of the behavior of vehicular flow
for single and multi-lane roads, considering the modifications of the
existing models and the changes in driving to know the approach of
the various researchers on the study of vehicular traffic. The study
reveals that the vehicular flow adapts to the moment's traffic
conditions. By its property, the model allows modifying interaction
rules and considering the road infrastructure for a lane model while
multi-lane models are more complex.
Keywords:
Cellular automata, microscopic model, NaSch model, traffic
models, vehicle flow.
http://novasinergia.unach.edu.ec 8
1 Introducción
El vehículo automotor, es un elemento esencial en el
estilo de vida de las generaciones modernas. Cada año
se fabrican millones de ellos que son distribuidos por
todo el mundo y es en las grandes ciudades, donde se
presentan mayores problemas de flujo vehicular (FV)
al momento de ir y retornar del trabajo, utilizando
tanto vehículos propios como transporte urbano,
además de todo el transporte de carga pesada que debe
circular para dotar a las ciudades de insumos para
funcionar correctamente. Aunado a esto, al no haber
un FV adecuado se presentan problemas de
contaminación ambiental, exceso de ruido y personas
estresadas, entre otros. Tyagi, Darbha, & Rajagopal,
(2009), reportaron que en 1994 el índice de
congestionamiento de carreteras (en inglés Road
Congestion Index, RCI), había crecido 20%
(Schrank, Turner, & Lomax, 1994). También, en lo
económico las pérdidas asociadas al
congestionamiento del tráfico en Estados Unidos para
2017 fueron aproximadamente de 308 billones de
dólares, según Schneider (2018).
La cantidad desbordante de vehículos excediendo la
capacidad operacional de las vías, algunos semáforos
mal programados y mala distribución de las vías,
hacen que ocurra inevitablemente el
congestionamiento vehicular. Una solución a esto es
hacer nuevas y amplias avenidas, pero esto
ocasionaría un costo muy elevado, además las
edificaciones grandes y densas no permiten una
ampliación como tal. Los modelos matemáticos de FV
juegan un papel importante, ya que trabajan sobre las
vías existentes a un costo muy bajo, sobre todo,
usando el avance electrónico, en telecomunicaciones
y computación para inclusive tener una respuesta en
tiempo real del FV.
Uno de los modelos matemáticos usados desde los
años 90 para modelar el FV es el autómata celular
(AC). En el trabajo de Maerivoet & De Moor (2005)
se afirma que al ser aplicado al FV “generan modelos
computacionales con rendimientos eficientes y
rápidos, dichos modelos provienen de la Mecánica
Estadística, una disciplina de la Física, con el objetivo
de entender el comportamiento del FV macroscópico
basado en una descripción mínima de los modelos
microscópicos”.
En este trabajo se pretende realizar una revisión de la
bibliografía del modelo de AC siguiendo las
necesidades que las mismas condiciones del FV han
generado. El objetivo de la presente revisión es
identificar hacia donde se orientan los temas
relacionados con el comportamiento del flujo
vehicular. Se espera colocar al investigador o lector
interesado en contacto con trabajos publicados,
asociados al estudio del FV usando autómatas
celulares.
También, se presentan como elementos esenciales de
los autómatas celulares el espacio de estados y la regla
de interacción entre las células. Esto desde el punto de
vista matemático para tener una visión más amplia y
profunda del modelo.
Se describen dos modelos, uno determinístico y el otro
probabilístico, los que dieron inicio al estudio del
tráfico desde los AC; se presentan un par de ejemplos
para hacer la lectura más didáctica. La diferencia con
respecto a otras revisiones bibliográficas consiste en
tomar inicialmente el enfoque de un carril, luego el de
dos o múltiples carriles, indicando los problemas
tratados recientemente y mostrando los modelos de
forma general, mas no la técnica usada para
modelarlos computacionalmente, ya que cada autor
usa recursos computacionales diferentes.
2 Metodología
La realización de este artículo se basó en una
investigación bibliográfica acerca del FV y los
autómatas celulares. Para Reis (2008), la revisión de
bibliografía describe un problema que se basa en “[…]
las contribuciones secundarias, es decir, en las
informaciones de datos extraídos de libros de literatura
común y científicos, revistas impresas y virtuales,
material audiovisual, entrevistas y documentos, de
diferentes autores que tratan el mismo problema
seleccionado para el estudio”.
Primero fue realizada una selección de artículos sobre
los inicios del estudio del FV en particular de los
relacionados con autómatas celulares, como:
Greenshields, Thompson, Dickinson, & Swinton,
(1934), Chandler, Herman, & Montroll (1958), Gazis,
Herman, & Rothery (1961), Biham, Middleton, &
Levine (1992), Wolfram (1983) y Nagel &
Schreckenberg (1992).
Se determinó el momento en el que aparecieron los
modelos de autómatas celulares para modelar el flujo
del tráfico y comprender el modelo de Nagel y
Schreckenberg (NaSch), desde el artículo original y su
diferencia respecto a los otros modelos de AC para FV
de la época. Luego se consideraron modelos
publicados en revistas científicas de impacto
registradas en Scimago Journal Ranking (2018) como
Maerivoet & De Moor, (2005) de Physics Reports,
otros en Physical Review A, Physical Review E,
Physical A. Estas revistas se encargan de seleccionar
artículos con aportes significativos en los temas
tratados en cada una de ellas, con la finalidad de
comprender el enfoque de los investigadores.
http://novasinergia.unach.edu.ec 9
También, fueron considerados el libro de Romero
(2012) y los artículos de Wolfram (1983) y Wolfram
(1984), para contar con un enfoque pedagógico
además del fundamento matemático.
3 Ingredientes de los autómatas
celulares y notaciones básicas
En esta sección se realiza una definición formal
matemática de los autómatas celulares determinísticos
y se describen los dos modelos que dieron inicio a la
teoría de tráfico con AC. Para mejorar la visualización
y comprensión de los modelos, se presentan un par de
ejemplos.
3.1 Autómatas celulares
Según Romero (2012)
Los autómatas celulares fueron introducidos por
John von Neumann a comienzos de los años
1950’s. Una vez concluida su participación en la
creación del primer computador de propósito
general, von Neumann se propuso desarrollar un
robot que tuviese la capacidad de auto-
reproducirse. Stanislaw Ulam, colega de von
Neumann en el Laboratorio de Los Alamos, le
sugirió el uso de la abstracción matemática para
lograr su propósito, de forma semejante a la
empleada por él en el estudio del crecimiento de
cristales; fue así como von Neumann ideó el
primer autómata celular. Hedlund en 1969 escribió
un trabajo que es considerado pionero en la
formalización matemática de la teoría de los
autómatas celulares (Hedlund, 1969).
En esta subsección se siguen las ideas presentadas en
Romero (2012). Para definir un AC se necesitan varios
elementos los cuales son:
Primero, considere un conjunto de células o de
celdas, en matemática retículos. En este caso se
consideran un conjunto de células generadas por los
números enteros dimensional ( ), esto es:
( )
12
, ,..., : ,1
= ...
d
dj
n n n n j d=
donde denota el conjunto de los números enteros,



es unad-úpla ordenada, esto significa
que si 





entonces,
para todo los valores
 
. Por
ejemplo, el punto

es distinto al punto

para el caso de
. En el caso ,
. A cada
elemento de
se le llama célula. En muchos
modelos de aplicación se usa un retículo finito o de
forma de anillo, esto es,
    el
anillo de los enteros módulo , en palabras significa
que a la célula en la posición cero se le relaciona con
la célula en la posición  Es un conjunto importante
ya que permite tener operaciones algebraicas en él.
Segundo, el conjunto de estados (en matemática
llamado también alfabeto) denotado por . En general
este es un conjunto finito que puede ser representado
por letras minúsculas o números, por ejemplo
 
o
   
En algunos casos
dependiendo del problema a tratar puede ser el
anillo de los enteros módulo (
 Con estos
dos ingredientes, se realiza la configuración de la
célula de la siguiente forma: a cada célula de
se le
asigna un valor en el conjunto de estado  En
Matemática, tal configuración es una función 
Al conjunto de todas las posibles configuraciones

 (espacio fase del autómata celular) es
denotado por
, que dotado de una topología
adecuada llamada topología producto se obtiene que
posee todas las propiedades topológicas
equivalente al conjunto de Cantor. En el caso
particular 

una configuración
 , se puede denotar de la siguiente forma
donde el valor que tiene el símbolo en forma de “v” es
la posición “cero”
( )
...0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1...
o de la forma donde en la parte superior se indica la
posición de la célula y en la parte inferior en estado
que adquirió la célula:
3 2 1 0 1 2 3 4 5
...
1 0 1 1 0 0 1 0 1
− − −
Con esta notación se asume que en la posición y
espacio de cada célula tomo el valor del estado, que en
el ejemplo es de 0 o 1.
Tercero, el siguiente ingrediente se enfoca con la
vecindad, es decir, dependiendo del comportamiento
de las células vecinas se actualiza la configuración de
un estado de la célula al siguiente. La vecindad es un
subconjunto finito de
indica la cantidad y en
cuales células vecinas se debe observar su
comportamiento.
Cuarto, la regla local, se refiere a como actualizar la
célula en función de sus vecinos. Los vecinos a
observar son los dados por . En otras palabras, la
regla local que rige los cambios de estados de una
célula a la siguiente. Esto matemáticamente es una
función 
, la cual genera la regla local que
regirá al autómata celular. La vecindad más estudiada
al principio de los AC, es
 
, que observa
al vecino anterior, el estado actual y al vecino
siguiente. Recuerde
es el conjunto de todas las
posibles configuraciones que puede tener las células
de .
http://novasinergia.unach.edu.ec 10
Con estos cuatro ingredientes un autómata celular en
una 4-úpla

donde la transición de una
célula a la siguiente viene dada por la aplicación
global 
, que a cada configuración

 y cada célula 


se
va a actualizar al siguiente estado de la forma:




, donde

es la restricción
de al conjunto finito
  
y
se puede ver como un elemento de
que luego, le
asocia un estado en . Para ver la evolución de una
configuración inicial es la sucesión

, esto es la órbita
de respecto a , donde
significa que se
compone la función con ellas misma veces.
Cuando  el autómata celular
  
es
unidimensional. Un ejemplo bastante didáctico para
entender cómo funciona los AC para modelar el flujo
vehicular es usando la famosa regla 184 propuesta por
Wolfram (1983) y Wolfram (1984). Esta regla para
poder ser modelada en un computador es necesario
tomar una cantidad finita de celdas o células en el
retículo unidimensional, y claro, una cantidad finita de
iterados de la función que actualiza cada célula. El
espacio de estados que toma cada célula es

(0 para un espacio en blanco y 1 para representar un
vehículo) y la vecindad a tomar es
 
.
Las posibles configuraciones, que son 8, es el espacio








y la función o regla local
que rige los cambios para determinar el nuevo estado
de cada célula es 
, donde:
Luego, dada una configuración inicial
la
transición de cada célula a la siguiente por la
aplicación global 
queda definida
como: para cada posición de la célula, su
actualización es








 La
regla local además de ver el estado actual de la célula,
depende de sus vecinos inmediatos, anterior y
siguiente. Se cambia el valor de 1 por un rectángulo
pequeño en negro en la célula y un rectángulo en
blanco para el 0. En la figura 1 se presenta un ejemplo
con 22 células o celdas, donde el tiempo evoluciona
de arriba hacia abajo.
Figura 1: Modelo de Wolfram con la Regla 184.
3.2 Modelo de Nagel &
Schreckenberg
En los inicios de los años 90 el modelo conocido
como NaSch se popularizó debido a su facilidad
para generar unas reglas simples de modelación
del complicado tráfico usando autómatas celulares.
En esta subsección se ofrece una corta explicación
del modelo. Ellos consideran un AC
unidimensional

, donde se toma un
subconjunto finito de células por ejemplo una
cantidad y para la configuración inicial se toma

como conjunto de estados. También, se
considera la vecindad como el siguiente conjunto:
           
Lo interesante aquí es la regla de transición que
no es fija, es variable en cada actualización ya que
http://novasinergia.unach.edu.ec 11
considera un parámetro probabilístico relacionado
a la desaceleración del vehículo, es decir, cada
célula al ser actualizada, puede desacelerar
dependiendo del parámetro de probabilidad
incluido

. En realidad es una sucesión
de reglas de transición
probabilística.
Para la implementación computacional e
interpretación en ingeniería, el modelo es como
sigue: considere una vía dividida en células
todas del mismo tamaño de 7.5m, con una
estructura topológica tipo redondel donde la
primera célula se conecta con la última célula, no
se puede adelantar y el avance del vehículo
depende del vehículo del frente. La velocidad
máxima de un vehículo es igual a 5, esto es, puede
avanzar máximo 5 células y se denota
El
espacio entre vehículos se denota por  Para
iniciar el proceso es necesario tener una
configuración inicial la cual va a depender de la
cantidad de vehículos en la vía, esto es la densidad
vehicular

y una
probabilidad de desaceleración

El modelo considera como 1 en la posición donde
existe un vehículo y 0 para un espacio vacío. Si
es la velocidad de un vehículo cualquiera en el
estado actual entonces, la velocidad o el avance
que va a tener un vehículo del siguiente tiempo se
calcula siguiendo las siguientes condiciones:
- Si
y entonces la velocidad del
vehículo se actualiza a   
- Si entonces la velocidad se actualiza a el
valor de 
- Para cada célula se genera un número aleatorio

Si y entonces, la
velocidad se actualiza a   
- El vehículo avanza a la velocidad actualizada.
Exactamente el tercer punto es el que marcó la
diferencia entre los modelos existentes para la
época, haciendo que bajo ciertas configuraciones
para la densidad y , el modelo se adapte bien a las
observaciones reales. Al pasar de los años todavía
se sigue estudiando este modelo considerando las
mismas reglas, variando valores de , la longitud
del conjunto de células y diferentes densidades de
vehículos para una configuración inicial dada. A
continuación, se muestra un ejemplo del modelo de
NaSch para 46 células de la misma longitud,
probabilidad de desaceleración  y
densidad


 La configuración inicial es la
primera fila y el tiempo avanza de arriba hacia
abajo, ver figura 2.
Figura 2: Modelo de NaSch con 46 células.
4 Revisión y discusión
Los modelos matemáticos se han utilizado para
entender el comportamiento de diversos
fenómenos de la naturaleza y la sociedad. El
estudio del flujo del tráfico (FT) no escapa de esto.
En la década de 1930 se comenzaron a plantear los
primeros modelos matemáticos para describir y
entender el comportamiento del flujo del tráfico
usando el método de fotografías (Greenshields et
al., 1934; Greenshields, Bibbins, Channing, &
Miller, 1935). A partir de este punto se comienza
el estudio usando diferentes técnicas o modelos.
Según Maerivoet & De Moor (2005) el estudio del
flujo del tráfico se divide en 3 modelos
fundamentales:
- Modelo Macroscópico
- Modelo Mesoscópico o Cinético
- Modelo Microscópico
http://novasinergia.unach.edu.ec 12
Históricamente se han usado los modelos
microscópicos para entender de forma global o de
forma macroscópica el estudio del flujo vehicular
enfocados en las interacciones de los modelos
microscópicos, es decir, en las pequeñas
interacciones que puede tener cada vehículo con su
entorno y con las formas de manejo particular. Este
tipo de estudios o modelo comenzó en la década de
1950, con varios trabajos realizados por diferentes
autores en paralelo, con un modelo llamado car-
following que considera la posición del vehículo,
la velocidad y la aceleración, es un modelo a
tiempo continuo donde los modelos matemáticos
comenzaron siendo movimientos lineales luego,
ecuaciones diferenciales de primer orden y
segundo orden.
Para una revisión más detallada sobre los trabajos
realizados en los años 50’s pueden consultarse
Chandler et al., (1958) y Gazis et al., (1961). Claro
está, que este tipo de modelo, para la época era
complicado realizar simulaciones
computacionales debido a la naturaleza del
modelo. Años después aparece lo que se
convertiría en un modelo popular y relativamente
simple para explicar el FV: el Modelo de
Autómatas Celulares (MAC) también conocido en
inglés como Traffic Cellular Automata (TCA). Ya
que este modelo de tiempo discreto y espacio de
fase discreto presentaba una forma sencilla de
programar las simulaciones computacionales para
describir un problema complicado como lo es el
flujo vehicular. Wolfram (1984), en su
clasificación de los AC como modelos
matemáticos de Sistemas Dinámicos Discretos,
propone un modelo simple unidimensional de AC
para el flujo del tráfico con su famosa regla 184.
Más tarde a principios de 1990, un grupo de
investigadores (Biham et al., 1992), publican un
modelo bidimensional (de dos carriles), donde los
vehículos de un carril circulan de forma contraria
a los vehículos del otro carril y los vehículos
dispuestos de forma aleatoria en la red del modelo.
Ambos modelos hasta entonces se trabajan con AC
determinístico. Paralelamente en el mismo año 92,
otro modelo fue el presentado por Nagel y
Schreckenberg, el primer modelo no trivial de un
AC probabilistico.
De estos trabajos sobresale el trabajo de NaSch ya
que al compararlos con modelos reales se
obtuvieron resultados bastantes favorables, lo que
rápidamente popularizó el modelo y comenzó a
aplicarse en las calles de varias ciudades grandes
en distintos países. Como se observó en la sección
3, este modelo de NaSch se presta para diferentes
modificaciones. Por ejemplo, si observa el modelo
del ejemplo de la figura 2, se puede pasar de
135km/h de 25 a 30 km/h, lo cual es un frenado
brusco e imposible de realizar.
En lo que sigue de la sección, la concentración se
enfoca en los modelos de autómatas celulares para
el FV dependiendo de la cantidad de carriles en la
vía. Un carril y dos carriles o múltiples carriles.
4.1 Modelos de un carril
En estudios posteriores al modelo de NaSch, se
considera el papel del parámetro de frenado o
desaceleración para una vía rápida de un carril,
si el valor de es muy alto (la probabilidad de
desaceleración del vehículo es alta), siempre se
tendrán atascos o flujo de tráfico lento a menos que
la densidad del número de vehículos sea pequeña
en un tramo largo de la vía y la desaceleración la
absorba la distancia entre los vehículos. En los
trabajos Schadschneider (1999), Schadschneider
(2002) y Nagel (1994) se detallan modelos para
explicar la influencia del parámetro de frenado 
En Schreckenberg, Barlović, Knospe, & Klüpfel,
(2002) se estudia cómo afecta el flujo del tráfico
cuando la densidad de carros es alta.
Entre tantos modelos y reglas impuestas a las
interacciones entre los vehículos para que la
modelación matemática sea lo más adaptada a la
realidad del FV, existe una regla llamada de inicio
lento (en inglés slow-to-star rule) la cual ha sido
usada en la literatura como modelo BJH. En
principio fue propuesta para modelar el flujo en
una vía que se incorpora a una autopista donde los
vehículos reducen bastante la velocidad al punto
de casi detenerse y luego comenzar a aumentar la
velocidad progresivamente (Benjamin, Johnson, &
Hui, 1996). Siguiendo este modelo se han
realizado varios estudios sobre todo la forma de
manejo del conductor, cuando desacelera y acelera
por algún motivo, que puede ser generado por
algún imprevisto en la vía o por decisión del
conductor. Lárraga y Alvarez-Icaza (2010),
estudian este caso de aceleración, desaceleración o
velocidad constante en una vía, manteniendo el
espacio promedio intervehicular y las limitaciones
que ofrece el vehículo del frente para hacer el
modelo un poco más realista, por ejemplo, cuando
un grupo de vehículos se acerca a un
embotellamiento. En cambio, Guzmán, Lárraga,
Alvarez-Icaza y Carvajal (2018) estudian los
movimientos de aceleración y desaceleración
uniforme y no impulsivo. Cuando un vehículo va
al frente (vehículo líder) de un grupo de vehículos
en una vía de un carril la forma de conducir del
vehículo líder, sobre todo en el aspecto de acelerar
y desacelerar, determina el flujo del tránsito.
http://novasinergia.unach.edu.ec 13
Este fenómeno se puede ver en forma real y
dinámica con múltiples vídeos en la dirección
electrónica de la siguiente referencia (De camino.
2016; Smartmotoris, 2019). Aunque el resultado
ya es conocido, el video es interesante, porque
ayuda a entender cómo una pequeña decisión del
conductor del vehículo líder afecta al FV.
Los modelos de un carril por lo general se estudian
considerando condiciones de frontera cerrada,
aunque existen modelos con frontera abierta,
abierta con condiciones y abierta infinita,
consideras en Matemáticas.
El artículo de Maerivoet & De Moor (2005) hace
un buen seguimiento a los trabajos con AC para la
época describiendo principalmente los modelos
para un carril aunque trata los de dos carriles y
múltiples carriles. También, presenta las reglas
impuestas al sistema para obtener modelos para
diferentes condiciones de manejos y condiciones
de la vía. Los casos de modelos de tráfico
heterogéneo son estudiados en este artículo.
Muchos de los trabajos realizados recientemente
se han hecho para uno y varios carriles los cuales
serán presentados en la siguiente sección.
4.2 Modelos con dos y múltiples
carriles
Como ya se había mencionado antes,
paralelamente al modelo de NaSch, se presentó un
modelo de dos vías usando AC (Biham et al.,
1992). En este modelo los vehículos de un carril
circulan de forma contraria al del otro carril, este
tipo de vías es común en las principales carreteras
del Ecuador.
Es importante notar que los modelos con dos o
múltiples carriles son más difíciles de analizar y
modelar, por la presencia de más variables y
porque las probabilidades de colisión son mayores.
Para estos modelos el conductor no sólo debe estar
atento al carro del frente y de atrás sino a los
vehículos próximos a él en los otros carriles
laterales, sobre todo si desea hacer un
adelantamiento.
Los modelos con dos carriles, claro está,
aparecerían tan pronto se comenzó a estudiar los
de un carril. Las primeras modificaciones a dos
carriles del modelo NaSch, según se encontró en la
literatura, son las dadas por Rickert, Nagel,
Schreckenberg & Latour (1996) y Wagner, Nagel
y Wolf (1997); el último incluye un estudio para
múltiples carriles. Luego de estos trabajos, aparece
un interesante artículo de Nagel, Wolf, Wagner y
Simon (1998), que presenta vías de dos carriles
con vehículos circulando en la misma dirección,
además una serie de reglas para diferentes modelos
al caracterizar el cambio de carril de los vehículos.
Las variables seguidas corresponden a, la
velocidad del vehículo conducido, la velocidad del
vehículo de adelante, la velocidad del vehículo de
atrás y de los vehículos próximos de los carril
derecho o izquierdo, en dependencia de la
maniobra a realizar por cambio de carril. Es
importante resaltar que en la publicación de Nagel
et al. (1998), muestra y comprara las variables de
velocidad y espacio entre los vehículos para
realizar el cambio de carril.
Más tarde, en el trabajo Rawat, Katiyar & Gupta
(2012), se hace una corta pero bien presentada
exposición de los modelos con dos carriles
inducidos por los diferentes modelos de un carril.
En otros estudios, se han ido cambiando las reglas
de los modelos a medida que se van obteniendo
datos reales del comportamiento del tráfico. Un
ejemplo es el observado en la India donde no hay
una disciplina apropiada en los conductores para el
cambio de carril (Mallikarjuna & Rao, 2011). El
caso de tráfico heterogéneo como el de la India
existe en otros países, pueden encontrarse estudios
donde se incluyen ciclistas en la vía y carriles
asimétricos (Nassab, Schreckenberg, Ouaskit, &
Boulmakoul, 2005). En Pandey, Rao & Mohan
(2015) se estudia el tráfico heterogéneo
incluyendo la existencia de ciclistas en la vía con
la diferencia que propone un estudio para vías
asimétricas. Entre tantas inclusiones para un
tráfico no homogéneo también se ha pensado en
incluir motocicletas, donde la velocidad es
diferente al de una bicicleta y en la vía puede ir en
un carril lento o en un carril rápido, lo que no
sucede con las bicicletas (Meng, Dai, Dong, &
Zhang, 2007).
Varios trabajos presentan no solo sus ideas para
vías con dos carriles sino para 3 y hasta 6 carriles
aunado a esto se incluyen las condiciones en la vía,
por ejemplo, una vía con 3 carriles y un grado de
inclinación donde circulan vehículos de carga
pesada de 6 ejes a baja velocidad, lo que hace
obtener flujo lento y mayor dificultad para
adelantar. Un trabajo reciente sobre este tipo de
modelo fue el realizado por Yang, Zheng, Cheng y
Ran (2019), para una autopista en China. No
siempre se encuentran conductores que cumplan
las normas de seguridad para hacer un
adelantamiento adecuado, sino todo lo contrario,
existen conductores que lo hacen de forma
agresiva (Li, Jia, Gao, & Jiang, 2006). En el
momento menos esperado se pueden encontrar en
la vía un incidente que genera inmediatamente la
paralización total de la vía o un embotellamiento si
queda algún carril por donde se pueda circular.
http://novasinergia.unach.edu.ec 14
Los modelos presentados por Zhu, Lei y Dai
(2009) han sido considerados en este trabajo. Algo
común en muchas ciudades es el stress causado en
los conductores por el FV, quienes no dudan en
tocar la bocina una y otra vez causando un stress
mayor, incomodando al peatón y contribuyendo a
la contaminación de ruido. Este caso también ha
sido estudiado observando el efecto generado por
el bocinado en vías de dos carriles (Jia, Jiang, Wu,
& Hu, 2005).
Recientemente usando el avance de las
telecomunicaciones y la electrónica se han
estudiado modelos que incluyen reglas donde el
vehículo entra en una zona donde existe internet de
vehículos, IoV (Zhao, Liu, Chen, & Lu, 2018). El
IoV considera interacciones del vehículo con la
infraestructura de la vía, interacciones entre los
vehículos e interacciones del vehículo con el
peatón (Maglaras, Al-Bayatti, He, Wagner, &
Janicke, 2016). Se cree que este tipo de modelos
comenzará a crecer debido al auge de las
telecomunicaciones y la conectividad de los
vehículos y de las vías. Además, la inevitable
llegada de los autos eléctricos que presentan una
mayor conectividad que los actuales.
5 Conclusiones
En esta revisión se puede concluir que con el pasar
del tiempo, los modelos o problemas considerados
en el estudio de flujo vehicular se han ido
adaptando a las condiciones del tráfico del
momento. Las grandes ciudades son las que nutren
de ideas a los investigadores para realizar nuevos
modelos no considerados hasta el momento, como
por ejemplo los modelos presentados en Zhao et
al., (2018) para vehículos y vías con internet.
El modelo de un carril de Nagel & Schreckenberg
(1992), permite agregar o modificar reglas de
interacción, considerar la infraestructura de la vía
como por ejemplo cruces, semáforos, instrumentos
de reducción de velocidad, entre otras
interrogantes observadas en los modelos de flujo
de tráfico.
En el estudio se percibió que los cambios en la
conducta del conductor se han ido incorporando en
los modelos de autómatas celulares. Tales modelos
pueden ser estudiados y aplicados en las vías del
Ecuador en ciudades de tamaño mediano a
pequeño, como por ejemplo, Ambato, Portoviejo y
Riobamba, debido a que en estas ciudades existe
un FV importante.
Cabe destacar que los modelos con múltiples
carriles son de naturaleza compleja. Los estudios
de estos modelos se encuentran con mayor
frecuencia en Estados Unidos, países europeos y
asiáticos, y escasamente en países del sur de
América. Durante la revisión de la literatura no se
encontraron estudios o propuestas para vías de dos
carriles para uso del transporte urbano y que
cuenten con espacios para recoger pasajeros. Este
escenario es común en algunas vías de los países
de América del sur, por lo que las propuestas de
modelado del FV tendrían resultados interesantes.
En el trabajo se presentó el modelo determinístico
de los autómatas celulares con sus elementos
formales matemáticamente, pero que no describe
el modelo de NaSch. El próximo estudio es
presentar el modelo probabilístico de autómatas
celulares desde la formalidad matemática
describiendo cada uno de sus elementos que lo
modelan y así describir formalmente el modelo de
NaSch.
Conflicto de Interés
Los autores declaramos que no existe conflicto de
interés de naturaleza alguna.
Agradecimiento
El autor Ruiz Luis B. agradece el apoyo brindado
al Vicerrectorado de Postgrado, Investigación y
Vinculación de la Universidad Nacional de
Chimborazo (UNACH), ya que parte del trabajo
fue desarrollado durante su estadía en dicha
institución. A la profesora Ligia Araque Mora, por
sus buenas sugerencias y correcciones para que el
artículo siguiera el formato correctamente.
Referencias
Benjamin, S., Johnson, N., & Hui, P. (1996). Cellular
automata models of traffic flow along a highway
containing a junction. Journal of Physics A:
Mathematical and General, 29(12), 3119–3127.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/29/12/018
Biham, O., Middleton, A., & Levine, D. (1992). Self-
organization and a dynamical transition in
traffic-flow models. Physical Review A, 46(10),
R6124–R6127.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.46.R6124
Chandler, R., Herman, R., & Montroll, E. (1958). Traffic
Dynamics: Studies in Car Following.
Operations Research, 6(2), 165–184.
https://doi.org/10.1287/opre.6.2.165
De camino, T. (2016). La matemática de las
congestiones de tráfico. Recuperado de
https://medium.com/@TomasDeCamino/la-
matem%C3%A1tica-de-las-congestiones-de-
tr%C3%A1fico-29681db8dbc0
http://novasinergia.unach.edu.ec 15
Gazis, D. C., Herman, R., & Rothery, W. R. (1961).
Nonlinear follow-the-leader models of traffic
flow. Operations Research, 9(4), 545–567.
https://doi.org/10.1287/opre.9.4.545
.Greenshields, B. D., Bibbins, J. R., Channing, W. S., &
Miller, H. H. (1935). A study of traffic capacity.
In Proceedings of the 14th Annual Meeting of
the Highway Research Board, (pp. 448–477).
Washington D.C., USA: The National Academy
of Science, Engineering, and Medicine.
Greenshields, B. D., Thompson, J. T., Dickinson, H. C.,
& Swinton, R. S. (1934). The photographic
method of studying traffic behavior. In
Proceedings of the 13th Annual Meeting of the
Highway Research Board (pp. 382–399).
Washington D.C., USA: The National Academy
of Science, Engineering, and Medicine
Guzmán, H. A., Lárraga, M. E., Alvarez-Icaza, L., &
Carvajal, J. (2018). A cellular automata model
for traffic flow based on kinetics theory,
vehicles capabilities and driver reactions.
Physica A: Statistical Mechanics and Its
Applications, 491, 528–548.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2017.09.094
Hedlund, G. A. (1969). Endomorphisms and
automorphisms of the shift dynamical system.
Math. Systems Theory, 3(4), 320–375.
https://doi.org/https://doi.org/10.1007/BF016
91062
Jia, B., Jiang, R., Wu, Q., & Hu, M. (2005). Honk effect
in the two-lane cellular automaton model for
traffic flow. Physica A: Statistical Mechanics
and Its Applications, 348, 544–552.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.09.034
Lárraga, M. E., & Alvarez-Icaza, L. (2010). A Cellular
Automaton Model for Traffic Flow with Safe
Driving Policies. Journal of Cellular
Automata, 5(6), 421-429.
Li, X., Jia, B., Gao, Z., & Jiang, R. (2006). A realistic
two-lane cellular automata traffic model
considering aggressive lane-changing
behavior of fast vehicle. Physica A: Statistical
Mechanics and Its Applications, 367, 479–
476.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2005.11.016
Maerivoet, S., & De Moor, B. (2005). Cellular automata
models of road traffic. Physics Reports,
419(1), 1–64.
https://doi.org/10.1016/j.physrep.2005.08.005
Maglaras, L., Al-Bayatti, A., He, Y., Wagner, I., &
Janicke, H. (2016). Social Internet of Vehicles
for Smart Cities. Journal of Sensor and
Actuator Networks, 5(1), 1-22.
https://doi.org/10.3390/jsan5010003
Mallikarjuna, C., & Rao, K. R. (2011). Heterogeneous
traffic flow modelling: a complete
methodology. Transportmetrica, 7(5), 321–
345.
https://doi.org/10.1080/18128601003706078
Meng, J., Dai, S., Dong, L., & Zhang, J. (2007). Cellular
automaton model for mixed traffic flow with
motorcycles. Physica A: Statistical Mechanics
and Its Applications, 380, 470–480.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2007.02.091
Nagel, K. (1994). Life times of simulated traffic jams.
International Journal of Modern Physics C,
05(03), 567–580.
https://doi.org/10.1142/S012918319400074X
Nagel, K., & Schreckenberg, M. (1992). A cellular
automaton model for freeway traffic. Journal
de Physique I, 2(12), 2221–2229.
https://doi.org/10.1051/jp1:1992277
Nagel, K., Wolf, D. E., Wagner, P., & Simon, P. (1998).
Two-lane traffic rules for cellular automata: A
systematic approach. Physical Review E,
58(2), 1425–1437.
https://doi.org/10.1103/PhysRevE.58.1425
Nassab, K., Schreckenberg, M., Ouaskit, S., &
Boulmakoul, A. (2005). Impacts of different
types of ramps on the traffic flow. Physica A:
Statistical Mechanics and its Applications,
354(2–4), 601–611.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.11.044
Pandey, G., Rao, K. R., & Mohan, D. (2015). A review
of cellular automata model for heterogeneous
traffic conditions. In M. Chraibi, M. Boltes, A.
Schadschneider & A. Seyfried (Eds.), Traffic
and Granular Flow'13 (pp. 471–478).
https://doi.org/10.1007/978-3-319-10629-
8_52
Rawat, K., Katiyar, V. K., & Gupta, P. (2012). Two-
Lane Traffic Flow Simulation Model via
Cellular Automaton. International Journal of
Vehicular Technology, 2012, 1–6.
https://doi.org/10.1155/2012/130398
Reis, L. G. (2008). Produção de monografias: da teoria
à pratica o método educar pela pesquisa
(MEP)(2nd ed.). Brasilia, Brasil: SENAC.
Rickert, M., Nagel, K., Schreckenberg, M., & Latour, A.
(1996). Two lane traffic simulations using
cellular automata. Physica A: Statistical
Mechanics and Its Applications, 231(4), 534–
550. https://doi.org/10.1016/0378-
4371(95)00442-4
Romero, N. (2012). Dinámica Topológica y Autómata
Celulares: conceptos y propiedades
fundamentales. Germany: Editorial
Académica Española.
Schadschneider, A. (1999). The Nagel-Schreckenberg
model revisited. The European Physical
Journal B, 10(3), 573–582.
https://doi.org/10.1007/s100510050888
Schadschneider, A. (2002). Traffic flow: a statistical
physics point of view. Physica A: Statistical
http://novasinergia.unach.edu.ec 16
Mechanics and Its Applications, 313(1–2),
153–187.
https://doi.org/10.1016/S0378-371(02)01036-
1
Schneider, B. (2018). Traffic's Mind-Boggling
Economic Toll. Recuperado de la página web
de Bloomberg CityLab:
https://www.citylab.com/transportation/2018/
02/traffics-mind-boggling-economic-
toll/552488/
Schrank, D., Turner, S., & Lomax, T. (1994). Trends in
Urban Roadway Congestion – 1982 to 1991.
Volume 1: Annual Report (Report No.
FHWA/TX-94/1131-6). Recuperado de
https://static.tti.tamu.edu/tti.tamu.edu/docume
nts/1131-6-V1.pdf
Schreckenberg, M., Barlović, R., Knospe, W., &
Klüpfel, H. (2002). Statistical Physics of
Cellular Automata Models for Traffic Flow.
K. H. Hoffmann, & M. Schreiber (Eds.). In
Computational Statistical Physics (pp. 113–
126). https://doi.org/10.1007/978-3-662-
04804-7_7
Smartmotoris. (2019). What Cause Traffic Jams? The
Physics Behind You Need To Know.
Recuperado de
https://www.smartmotorist.com/traffic-jams
Tyagi, V., Darbha, S., & Rajagopal, K. R. (2009). A
review of the mathematical models for traffic
flow. International Journal of Advances in
Engineering Sciences and Applied
Mathematics, 1(1), 53–68. Recuperado de
https://doi.org/10.1007/s12572-009-0005-8
Wagner, P., Nagel, K., & Wolf., D. E. (1997). Realistic
multi-lane traffic rules for cellular automata.
Physica A: Statistical Mechanics and its
Applications, 234(3-4), 687–698.
https://doi.org/10.1016/S0378-4371(96)00308-
1
Wolfram, S. (1983). Statistical mechanics of cellular
automata. Reviews of Modern Physics, 55(3),
601–644.
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.55.601
Wolfram, S. (1984). Computation theory of cellular
automata. Communications in Mathematical
Physics, 96(1), 15–57.
https://doi.org/10.1007/BF01217347
Yang, L., Zheng, J., Cheng, Y., & Ran, B. (2019). An
asymmetric cellular automata model for
heterogeneous traffic flow on freeways with a
climbing lane. Physica A: Statistical Mechanics
and Its Applications, 535.
https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.122277
Zhao, H. T., Liu, X.-R., Chen, X.-X., & Lu, J.-C. (2018).
Cellular automata model for traffic flow at
intersections in internet of vehicles. Physica A:
Statistical Mechanics and Its Applications, 494,
40–51.
https://doi.org/10.1016/J.PHYSA.2017.11.152
Zhu, H. B., Lei, L., & Dai, S. Q. (2009). Two-lane traffic
simulations with a blockage induced by an
accident car. Physica A: Statistical Mechanics
and Its Applications, 388(14), 2903–2910.
https://doi.org/10.1016/J.PHYSA.2009.01.040