Universidad Nacional de Chimborazo
NOVASINERGIA, 2018, Vol. 1, No. 1, diciembre-mayo, (6-13)
ISSN: 2631-2654
https://doi.org/10.37135/unach.ns.001.01.01
Art
´
ıculo de Investigaci
´
on
Traslaciones de Transformaciones Tipo Boole Robustamente Transitivas
Robustly Transitive Translations of Boole-like transformations
Bladismir Leal
∗
, Guelvis Mata , David Ram
´
ırez
Departamento de Matem
´
aticas, Universidad de Los Andes, M
´
erida, Venezuela, 5101; gmata@ula.ve; rdavid@ula.ve
* Correspondencia:bladismir@ula.ve
Recibido 14 mayo 2018; Aceptado 10 junio 2018; Publicado 12 junio 2018
Resumen:
El estudio de la famosa transformaci
´
on de Boole y sus diferentes parametrizaciones
se ha hecho desde el contexto de la teor
´
ıa erg
´
odica para medidas infinitas. Se sabe
muy poco sobre el estudio de estas transformaciones desde la perspectiva de sistemas
din
´
amicos topol
´
ogicos (puntos peri
´
odicos, conjuntos invariantes, transitividad, conjunto
no-errante, etc.), y mucho menos se sabe sobre la estabilidad de los fen
´
omenos
din
´
amicos que se encuentran en este tipo de transformaciones. En este trabajo
consideramos un modelo geom
´
etrico de la transformaci
´
on de Boole y mostramos que
es transitiva, es decir, posee una
´
orbita densa en R. Tambi
´
en, probamos que un tipo
de traslaci
´
on (un tipo de parametrizaci
´
on) del modelo geom
´
etrico de la transformaci
´
on
de Boole posee un conjunto de Cantor invariante transitivo, cuyas
´
orbitas peri
´
odicas
son densas en tal conjunto. Para ello, usamos el m
´
etodo cl
´
asico para obtener
conjuntos de Cantor din
´
amicamente definidos. Finalmente, adaptando m
´
etodos para
transformaciones no acotadas con una discontinuidad, mostramos que, si B es una
transformaci
´
on tipo Boole, entonces para cada ε > 0 la traslaci
´
on B
ε
es robustamente
transitiva.
Palabras clave:
´
Orbitas Peri
´
odicas, Robustamente Transitivo, Transitividad, Transformaci
´
on de Boole,
Traslaciones.
Abstract:
The study of the renowned Boole transformation and its different parametrizations have
been made from the context of the ergodic theory for infinite measurements. Very little
is known about the study of these transformations from the perspective of topological
dynamic systems (periodic points, invariant sets, transitivity, non-errant set, etc.), and
much less is known about the stability of the dynamic phenomena found in this type
of transformation. In this work we show a geometric model of Boole transformation,
which results to be transitive, that is, it has a dense orbit in R. Also, we show that a
type of translation (one type of parameterization) of the geometric model of the Boole
transformation has a transitive invariant Cantor set, whose periodic orbits are dense in
such a set. For this, we use the classical method to obtain dynamically defined Cantor
sets. Finally, adapting methods for unbounded transformations with a discontinuity, we
proved that, if B is a Boole transformation, then for each ε > 0 the translation B
ε
is
robustly transitive.
Keywords:
Periodic Orbits, Robustly Transitive, Transitivity, Boole Transformation, Translations.
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1 Introducci
´
on
La historia de la transformaci
´
on de Boole
comienza en 1857, cuando George Boole prueba
que la funci
´
on B : R \ {0} −→ R dada por
B(x) = x −
1
x
preserva la medida de Lebesgue y
descubre la sorprendente f
´
ormula:
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
+∞
Z
−∞
f (x −
1
x
)dx (1)
es verdadera para cualquier funci
´
on f : R −→ R
Riemann integrable (Boole, 1857). Tal funci
´
on hoy
en d
´
ıa es conocida como transformaci
´
on de Boole.
M
´
as tarde, Adler y Weiss (1973), demuestran que,
B es erg
´
odica respecto a la medida de Lebesgue.
Es este un hecho interesante, debido a que existen
diferencias fundamentales entre espacios de medida
infinita y espacios de medida finita. Despu
´
es de lo
cual, varios autores han trabajado en las propiedades
erg
´
odicas de parametrizaciones de B, alg
´
un tipo de
generalizaci
´
on y en transformaciones que preservan
medidas infinitas (Aaronson, 2007, 1983; Neuwirth,
1978; Prykarpatsky y Feldman, 2006). Hasta aqu
´
ı
el estudio de esas aplicaciones, ha sido de tipo
erg
´
odico y no sobre las propiedades de din
´
amica
topol
´
ogica como el conjunto de puntos peri
´
odicos y
transitividad, este
´
ultimo importante en el concepto
de caos din
´
amico; aunque recientemente en Mu
˜
noz
(2015) se presentan condiciones para las que, una
clase de familias con propiedades parecidas a la
transformaci
´
on de Boole, sea transitiva.
En Prykarpatsky y Feldman (2006) se estudia
la ergodicidad de familias parametrizadas de la
transformaci
´
on B, una de esas es de la forma
B
aε
(x) = x −
a
x
+ ε, para a > 0 y ε > 0. Tambi
´
en
se demuestra que preserva una medida infinta, pero
no es erg
´
odica respecto a esa medida. Lo anterior no
significa que est
´
a todo perdido. Aqu
´
ı consideramos
un modelo geom
´
etrico de la transformaci
´
on de
Boole y probaremos algunas propiedades din
´
amicas
para un tipo de traslaci
´
on o parametrizaci
´
on de
dicho modelo geom
´
etrico que posee las principales
propiedades de la transformaci
´
on de Boole, que
llamaremos tipo Boole, como se puede apreciar en
la siguiente definici
´
on:
Definici
´
on 1.1. Una transformci
´
on B : R \ {0} −→
R de clase C
1
es tipo Boole si
a) B
0
(x) > 1 para todo x;
b) lim
x→0
+
B(x) = −∞ y lim
x→0
−
B(x) = +∞;
c) B(x) 6= x para todo x;
d) lim
x→+∞
(B(x) − x) = 0 y lim
x→−∞
(B(x) − x) = 0
La traslaci
´
on (o parametrizaci
´
on) de B de la que se
ha venido mencionando, viene dada por la forma
mostrada en 2, en donde para cada ε ∈ R, se define
B
ε
(x) :=
B(x) + ε, si x > 0
B(x) − ε, si x < 0
(2)
De aqui en adelante esta transformaci
´
on ser
´
a
referida como FTB.
En concreto se prueba lo siguiente:
Teorema 1.2. Si B es una transformaci
´
on tipo
Boole entonces, para cada ε > 0, existe un conjunto
cantor Λ
ε
invariante respecto a la transformaci
´
on
B
ε
, tal que B
ε
|
Λ
ε
es transitiva y su conjunto de
puntos peri
´
odicos es denso en Λ
ε
. Adem
´
as, si x ∈ Λ
c
ε
se tiene que, |B
n
(x)| → +∞ cuando n → +∞.
En el estudio de los fen
´
omenos din
´
amicos, es
muy interesante saber si ellos son persistentes
bajo perturbaciones, una forma de persistencia
significa que al perturbar, el nuevo sistema obtenga
algunas caracteristicas del sistema original, como
por ejemplo propiedades din
´
amicas (los mismos
puntos peri
´
odicos, transitividad). Dado el siguiente
conjunto:
F
i
:= { f : R\{0} 7→ R : f es de clase C
i
}, (3)
para i = 0, 1, 2.
Diremos que g ∈ F
0
es δ − C
0
pr
´
oximo de B
ε
si |g(x) − B
ε
(x)| < δ para todo x 6= 0. Tambi
´
en,
diremos que g ∈ F
1
es δ − C
1
pr
´
oximo de B
ε
si g
es δ −C
0
pr
´
oximo de B
ε
y |g
0
(x) − B
0
ε
(x)| < δ para
todo x 6= 0. Sea f ∈ F
1
tal que f posee un conjunto
de cantor Λ
f
invariante y transitivo. Diremos que
f es robustamente transitivo si existe δ > 0 tal que
si g ∈ F
1
es δ − C
1
pr
´
oximo de f , g posee un
conjunto de cantor Λ
g
invariante transitivo y g|
Λ
g
es topol
´
ogicamente conjugado a f |
Λ
f
, lo
´
ultimo
significa que existe un homeomorfismo h : Λ
g
−→
Λ
f
tal que f ◦ h(x) = h ◦ g(x) para todo x ∈ Λ
g
.
Teorema Principal 1. Sea B una transformaci
´
on tipo
Boole. Para cada ε > 0, la transformaci
´
on B
ε
es
robustamente transitiva.
2 Metodolog
´
ıa
En la revisi
´
on bibliogr
´
afica se pudo constatar
que existe muy poco avance en el estudio de
http://novasinergia.unach.edu.ec 7
la din
´
amica topol
´
ogica, como lo son puntos
peri
´
odicos, transitividad, robustez transitiva, etc.,
en las parametrizaciones de la transformaci
´
on de
Boole. Aunque, s
´
ı encontramos que existen estudios
desde el punto de vista de la teor
´
ıa erg
´
odica.
En la familia de traslaciones de la transformaci
´
on
tipo Boole, usamos el m
´
etodo tradicional para
la construcci
´
on de conjuntos de Cantor, estos
m
´
etodos se pueden encontrar desarrollados en
Devaney (1989) y Robinson (1999). Adaptamos
esos m
´
etodos, con cierto cuidado ya que las
transformaciones tipo Boole poseen una as
´
ıntota
vertical, para mostrar que Λ
B
ε
es un conjunto de
Cantor invariante para todo ε > 0. Para probar que
Λ
B
ε
es transitiva respecto a B
ε
para todo ε > 0,
usamos un m
´
etodo bastante tradicional en sistemas
din
´
amicos que propone conseguir una conjugaci
´
on
topol
´
ogica (ver parte final de la introducci
´
on para
su definici
´
on) entre B|
Λ
B
ε
y el shift unilateral σ (ver
inicio de la demostraci
´
on del Teorema 1.2 para su
definici
´
on).
Para considerar el modelo geom
´
etrico de la
transformaci
´
on de Boole, lo que hicimos fue
considerar su diferenciabilidad, por lo menos exigir
que sea de clase C
1
, su derivada mayor que 1 para
todos los puntos del dominio, considerar sus dos
as
´
ıntotas, la vertical en x = 0 y la as
´
ıntota oblicua
en y = x y finalmente pedirle que no tenga puntos
fijos, ver definici
´
on 1.1.
Para obtener el Teorema principal, el m
´
etodo
usado fue descifrar lo hecho en Robinson (1999)
para la funci
´
on log
´
ıstica y lo hecho en Mu
˜
noz
(2015), para transformaciones no acotadas con
una discontinuidad, adaptarlo a nuestro caso, de
manera que las perturbaciones δ-C
1
pr
´
oximas a B
ε
obtuvieran puntos fijos hipeb
´
olicos, es decir, puntos
fijos con derivada estrictamete mayor que 1, adem
´
as
las perturbaciones se realizan dentro del espacio de
las transformaciones C
1
con una discontinuidad en
x = 0.
3 Resultados y Discusi
´
on
Comenzaremos con algunos resultados preliminares
y notaci
´
on b
´
asica necesaria para alcanzar nuestro
objetivo.
3.1 Preliminares
Considere la traslaci
´
on de una transformaci
´
on tipo
Boole B,
B
ε
(x) :=
B(x) + ε, si x > 0
B(x) − ε, si x < 0
(4)
observe que las restricciones sobre cada
componente conexa es un difeomorfismo
de clase C
1
sobre R, es decir,
B
−ε
|
(−∞,0)
: (−∞, 0) 7→ R y B
+ε
|
(0,+∞)
: (0, +∞) 7→
R, son difeomorfismos crecientes de clase C
1
. La
siguiente observaci
´
on de funciones derivables ser
´
a
de utilidad en este trabajo.
Observaci
´
on 3.1. Sea J un intervalo y f : J ⊂ R 7→
R derivable tal que f
0
(x) > 1, para todo x ∈ J. Si
existe x
0
∈ int(J) y f (x
0
) = x
0
, entonces
a) f (x) > x, ∀ x > x
0
, con x ∈ J;
b) f (x) < x, ∀ x < x
0
, con x ∈ J
Puntos fijos
Por la observaci
´
on 3.1, B
ε
posee s
´
olo dos puntos
fijos, uno x
0
∈ (−∞, 0) y el otro x
1
∈ (0, +∞).
Ahora, existe x
01
∈ (x
0
, 0) tal que B
−ε
(x
1
) =
x
01
y existe x
01
∈ (0, x
1
)) tal que B
+ε
(x
0
) =
x
01
. Denotado por I
0
= [x
0
, x
01
] ⊂ (−∞, 0), I
1
=
[x
10
, x
1
] ⊂ (0, +∞) y I = [x
0
, x
1
].
Observaci
´
on 3.2. Ya que B
0
(x) > 1 para todo x 6= 0,
se tiene que B
−ε
|
I
0
: I
0
7−→ I y B
+ε
|
I
1
: I
1
7−→ I son
homeomorfismos.
Notaci
´
on 3.3. los puntos x
01
y x
10
poseen sus
respectivas preimagenes en la siguiente iteraci
´
on,
denotaremos por x
110
a la preimagen positiva de
x
10
y x
010
a la preimagen negativa de x
10
, esto es,
B
−1
+ε
(x
10
) = x
110
y B
−1
−ε
(x
10
) = x
010
, por lo tanto
B
−1
ε
(x
10
) = {x
110
, x
010
}.
Similarmente; denotaremos por x
101
a la preimagen
positiva de x
01
y x
001
a la preimagen negativa de
x
01
, esto es B
−1
+ε
(x
01
) = x
101
y B
−1
−ε
(x
01
) = x
001
, as
´
ı
B
−1
ε
(x
01
) = {x
001
, x
101
}, por lo que:
B
−2
ε
(x
0
) = {x
0
, x
10
, x
010
, x
110
}, (5a)
B
−2
ε
(x
1
) = {x
1
, x
01
, x
101
, x
001
} (5b)
Siguiendo la notaci
´
on, en general dado un
punto eventualmente fijo x
i
1
...i
k
, la referencia i
0
correspondiente a su preimagen negativa ser
´
a i
0
=
0 y para la correspondiente preimagen positiva
ser
´
a i
0
= 1, es decir, B
−1
−ε
(x
i
1
...i
k
) = x
0i
1
...i
k
y
B
−1
+ε
(x
i
1
...i
k
) = x
1i
1
...i
k
donde i
j
= 0 : 1 para j = 1 : k.
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Proposici
´
on 3.4. Si A = [x
0
, x
1
]
c
= I
c
, entonces
B
ε
(A) ⊂ A y para cada x ∈ A se tiene que, |B
n
ε
(x)| →
+∞, cuando n → +∞.
Proof. La primera parte se basa en la observaci
´
on
3.1.
Para la segunda parte, sea x ∈ (x
1
, +∞), del
hecho que B
0
+ε
(x) > 1, para todo x ∈ R\{0} y de
la observaci
´
on 3.1 se concluye que B
+ε
(x) > x.
Luego, iterando x respecto a B
+ε
se sigue que,
B
+ε
(x) < B
2
+ε
(x) e iterando sucesivamente se tiene
que B
n
+ε
(x) < B
n+1
+ε
(x), para todo n > 0, es decir,
{B
n
+ε
(x)}
+∞
n=1
es una sucesi
´
on mon
´
otona creciente.
Ya que B
+ε
tiene un
´
unico punto fijo en (0, +∞),
que es x
0
. Entonces, B
n
+ε
(x) → +∞, cuando n →
+∞. El caso x ∈ (−∞, x
0
) es completamente
an
´
alogo.
Sea,
Λ
ε
=
\
n≥0
B
−n
ε
(I) =
\
n≥1
B
−n
ε
(I
0
∪ I
1
). (6)
Proposici
´
on 3.5. Si ε > 0. Si x ∈ Λ
c
ε
\(∪
n≥0
B
−n
ε
(0)),
entonces |B
n
ε
(x)| → +∞, cuando n → +∞.
Proof. Sea x ∈ Λ
c
ε
\(∪
n≥0
B
−n
ε
(0)), entonces existe
un j ∈ N tal que B
j
ε
(x) ∈ A, aplicando la proposici
´
on
3.4 se sigue facilmente la prueba.
De la proposici
´
on 3.4, la observaci
´
on 3.2 y la
proposici
´
on 3.5, la din
´
amica interesante de la
transformaci
´
on B
ε
est
´
a contenida en el intervalo
I = [x
0
, x
1
].
Notaci
´
on 3.6. Recordemos que
x
0
< x
001
< x
010
< x
01
< 0 y x
10
< x
101
< x
110
< x
1
,
ahora bien denotemos por I
00
= [x
0
, x
001
], I
01
=
[x
010
, x
01
], I
10
= [x
10
, x
101
] y I
11
= [x
110
, x
1
], tales
intervalos I
i
0
i
1
son aplicados difeomorficamente
sobre I
i
1
. En consecuencia, B
−1
ε
(I
0
) = I
00
∪ I
10
y B
−1
ε
(I
1
) = I
01
∪ I
11
, posteriormente B
−2
ε
(I) =
I
00
∪ I
01
∪ I
10
∪ I
11
, es la uni
´
on disjunta de 2
2
intervalos compactos. Por otro lado observe que
I
i
0
∩ B
−1
ε
(I
i
1
) = I
i
0
i
1
con i
0
, i
1
∈ {0, 1}, luego como
B
ε
(I
i
0
) = I, entonces B
ε
(I
i
0
i
1
) = B
ε
(I
i
0
∩B
−1
ε
(I
i
1
)) =
B
ε
(I
i
0
) ∩ I
i
1
= I
i
1
y en general:
I
i
0
...i
n
= I
i
0
∩ B
−1
ε
(I
i
1
) ∩ . . . ∩ B
−n
ε
(I
i
n
) (7a)
= I
i
0
∩ B
−1
ε
(I
i
1
...i
n
). (7b)
Para mostrar que Λ
ε
es un conjunto de cantor,
seguiremos de cerca las ideas desarrolladas en
Devaney (1989) y Robinson (1999). Con la
notaci
´
on que traemos hasta aqu
´
ı, los siguientes
dos lemas, lema 3.7 y lema 3.8 se encuentran
en (Devaney, 1989), por tal raz
´
on omitimos la
demostraci
´
on.
Lema 3.7. Para todo n ∈ N se tiene que:
n
\
k=0
B
−k
ε
(I) = B
−n
ε
(I) (8a)
=
[
i
0
,...,i
n−1
=0,1
I
i
0
...i
n−1
. (8b)
Lema 3.8. Para cada iteraci
´
on n ≥ 2 de la FTB,
valen las siguiente propiedades:
(a) Para cualquier elecci
´
on i
0
. . . i
n−2
∈ {0, 1},
tenemos que:
I
i
0
...i
n−2
∩ B
−n
ε
(I) = I
i
0
...i
n−2
0
∪ I
i
0
...i
n−2
1
es la
uni
´
on de dos intervalos no vac
´
ıos y disjuntos.
(b) Para dos elecciones distintas digamos
(i
0
. . . i
n−1
) 6= (i
0
0
. . . i
0
n−1
), tenemos que:
I
i
0
...i
n−1
∩ I
i
0
0
...i
0
n−1
=
/
0; es decir, B
−n
ε
(I) es la
uni
´
on de 2
n
intervalos cerrados disjuntos.
(c) B
ε
aplica la componente I
i
0
...i
n−1
⊂ B
−n
ε
(I)
homeomorficamente sobre el intervalo
I
i
1
...i
n−1
⊂ B
−n+1
ε
(I)
Lema 3.9. Si
λ := in f {B
0
ε
(x) : x ∈ I
0
∪ I
1
} > 1, entonces
L(I
i
0
...i
n−1
) ≤ λ
−n
(x
1
− x
0
) para cualquier elecci
´
on
I
i
0
...i
n−1
⊂ B
−n
ε
(I).
Proof. Considere una elecci
´
on I
i
0
...i
n−1
⊂ B
−n
ε
(I).
Luego, por el lema 3.8 se tiene que, I
i
0
...i
n−1
⊂
··· I
i
0
i
1
⊂ I
i
0
⊂ I = [x
0
, x
1
]. Usando el Teorema
del Valor Medio, se tiene que L(I
i
0
) < λ
−1
(x
1
−
x
0
). Aplicando sucesivamente esto a los siguientes
intervalos de la elecci
´
on se sigue el resultado.
Teorema 3.10. Si B es tipo Boole y ε > 0, entonces
Λ
ε
:= {x ∈ I\ ∪
n≥0
B
−n
ε
(0) : B
n
ε
(x) ∈ I, ∀n ∈ N} es
un conjunto de Cantor.
Proof. De la proposici
´
on 3.4 podemos notar que el
conjunto Λ
ε
⊂ I
0
∪ I
1
.
1)Para verificar que Λ
ε
es compacto basta notar
que el lema 3.7 nos dice que Λ
ε
es intersecci
´
on
numerable de intervalos compactos encajados.
Entonces, Λ
ε
es compacto.
2)Probemos que Λ
ε
es totalmente disconexo.
Notemos que λ
−k
(x
1
− x
0
) → 0, cuando k → ∞.
(∗)
Ahora, supongamos que Λ
ε
no es totalmente
disconexo, es decir que existe un intervalo
J ⊂ Λ
ε
=
+∞
\
n=0
B
−n
ε
(I), luego por
(∗)
existe un n > 1
http://novasinergia.unach.edu.ec 9
tal que λ
−n
(x
1
− x
0
) < L(J), adem
´
as por el lema
3.7 tenemos que J ⊂ B
−n
ε
(I) =
[
i
0
,...,i
n−1
=0,1
I
i
0
...i
n−1
,
la cual por el lema 3.8 sabemos que es uni
´
on
de intervalos disjuntos dos a dos. Por lo tanto
existe una colecci
´
on j
0
, . . . , j
n−1
∈ {0, 1}, tal que
J ⊂ I
j
0
... j
n−1
, por el lema anterior (3.9), obtenemos
que L(J) ≤ L(I
j
0
... j
n−1
) ≤ λ
−n
(x
1
− x
0
), lo cual
es una contradicci
´
on. Por lo tanto Λ
ε
no posee
intervalos, en consecuencia Λ
ε
es totalmente
disconexo.
3) La demostraci
´
on de que Λ
ε
es perfecto, es igual a
la realizada en el Teorema 4.1 en Robinson (1999).
En conclusi
´
on Λ
ε
es un conjunto de Cantor.
3.2 Prueba de los resultados
principales
Definiremos Σ
2
:= {s = (s
0
s
1
. . . s
j
. . .) : s
j
∈
{0, 1} j ∈ N}. Este conjunto es llamado el espacio
de sucesiones de dos s
´
ımbolos 0 y 1, diremos que
una secuencia s
i
. . . s
j
es una “palabra”del espacio
Σ
2
de longitud j −i. Adem
´
as, diremos que s, t ∈ Σ
2
son iguales (s = t), si s
j
= t
j
para todo j ∈ N.
Con la m
´
etrica d(s, t) =
∑
+∞
i=0
|s
i
−t
i
|
2
i
, es bien
conocido que Σ
2
es un conjunto compacto. La
funci
´
on shift σ : Σ
2
→ Σ
2
esta definida como
σ(s
0
s
1
s
2
. . .) = (s
1
s
2
s
3
. . .). Tambi
´
en, es bien
conocido que σ es continua, el conjunto de punto
peri
´
odicos es denso y trasitivo.
Proof. (Teorema 1).
Sea B una trasformaci
´
on tipo Boole, ε > 0 y sea B
ε
una traslaci
´
on de B. Considere S : Λ
ε
−→ Σ
2
, para
cada x ∈ Λ
ε
, S(x) = s
0
s
1
s
2
. . . donde s
i
= 0 si B
i
ε
(x) ∈
I
0
y s
i
= 1 si B
i
ε
(x) ∈ I
1
. S es llamada el Itinerario
de x. La idea es probar que S es una conjungaci
´
on
topol
´
ogica entre σ y B
ε
, de esta manera B
ε
tiene
las mismas propiedadades din
´
amicas que σ, es
decir, B
ε
|
Λ
ε
es transitiva y el conjunto de puntos
peri
´
odicos son densos en Λ
ε
. Notemos que para
todo x ∈ Λ
ε
se tiene que x = I
i
0
...i
n
...
y el itinerario
de x es precisamente S(x) = i
0
. . . i
n
. . ..
Inyectividad. Sean x, y ∈ Λ
ε
supongamos que
S(x) 6= S(y), luego existe j ∈ N tal que B
j
ε
(x) y B
j
ε
(y)
est
´
an en diferentes componentes conexas, es decir,
si S(x) = i
0
. . . i
j
. . . y S(y) = i
0
0
. . . i
0
j
. . . entonces,
y ∈ I
i
0
0
...i
0
j
y x ∈ I
i
0
...i
j
, donde i
j
6= i
0
j
; luego, por el
lema 3.8 I
i
0
0
...i
0
j
∩I
i
0
...i
j
=
/
0, as
´
ı se concluye que x 6= y.
Sobreyectividad. Considere s ∈ Σ
2
, recordemos lo
siguiente: I
s
0
...s
n
= I
s
0
∩ B
−1
ε
(I
s
1
) ∩ . . . ∩ B
−n
ε
(I
s
n
);
luego, existe I
s
0
s
1
...
= ∩
+∞
k=0
I
s
0
...s
k
una sucesi
´
on
encajada de intervalos compactos, donde s
k
= 0 : 1
para k ≥ 0. Por lo tanto existe x ∈ I
s
= ∩
+∞
k=0
B
−k
ε
(I
s
k
).
En consecuencia, si B
k
ε
(x) ∈ I
s
k
para todo k ≥ 0,
entonces S(x) = s.
Continuidad. Sea x ∈ Λ
ε
y supongamos que S(x) =
s
0
. . . s
n
. . .. Sea ε
0
> 0, luego existe n ∈ N tal que
1
2
n
< ε
0
y consideremos el intervalo I
s
0
...s
n
y elijamos
δ = λ
−n−1
(x
1
− x
0
) tal que si existe un y ∈ Λ
ε
con
|x − y| < δ entonces x, y ∈ I
s
0
...s
n
; es decir, S(x)
coincide con S(y) en los primeros n+ 1 t
´
erminos de
la sucesi
´
on. En consecuencia, d(S(x), S(y)) ≤
1
2
n
<
ε
0
.
Continuidad de la inversa. La inversa de la
funci
´
on itinerario esta definida como: S
−1
: Σ
2
7−→
Λ
ε
, donde S
−1
(s
0
. . . s
n
. . .) = x.
Dado ε
0
> 0, por el lema 3.9 sabemos que existe
n ∈ N tal que λ
−n−1
(x
1
− x
0
) < ε
0
. Sean s, t ∈ Σ
2
tales que d(s,t) <
1
2
n
entonces, se cumple que s
j
= t
j
para todo j = 0 : n. Por lo tanto S
−1
(s), S
−1
(t) ∈
I
s
0
...s
n
, es decir que tomando δ =
1
2
n
se tiene que
|S
−1
(s) − S
−1
(t)| ≤ λ
−n−1
(x
1
− x
0
) < ε
0
, as
´
ı, se
concluye que S
−1
es continua.
Nos falta probar que, S ◦ B
ε
(x) = σ ◦ S(x), para
todo x ∈ Λ
ε
. Para ello, sea x ∈ Λ
ε
, luego sabemos
que existe una
´
unica intersecci
´
on de intervalos
encajados tal que x = ∩
n≥0
I
s
0
...s
n
...
, determinada
por el itinerario de S(x) = s = (s
0
s
1
. . .), como
I
s
0
...s
n
= I
s
0
∩ B
−1
ε
(I
s
1
) ∩ . . . ∩ B
−n
ε
(I
s
n
), por el lema
3.8 sabemos que B
ε
(I
s
0
...s
n
) = I
s
1
...s
n
. Por lo tanto
B
ε
(x) ∈ ∩
n≥1
I
s
1
...s
n
; en consecuencia,
S(B
ε
(x)) = S(B
ε
(∩
n≥0
I
s
0
...s
n
)) (9a)
= S(∩
n≥1
I
s
1
...s
n
) (9b)
= (s
1
s
2
. . .) (9c)
= σ(S(x)) (9d)
Corolario 3.11. Sea B una transformaci
´
on tipo
Boole. Si ε
1
> 0 y ε
2
> 0, entonces B
ε
1
|
Λ
ε
1
y B
ε
2
|
Λ
ε
2
son topol
´
ogicamente conjugados.
Proof. Sean ε
1
> 0 y ε
2
> 0 arbitrarios, por el
Teorema 1, se concluye que tanto B
ε
1
como B
ε
2
son topol
´
ogicamente conjugados con σ, donde la
aplicaci
´
on itinerario es la conjugaci
´
on topol
´
ogica
para dichas funciones. Por transitividad, se sigue
que B
ε
1
|
Λ
ε
1
∼ B
ε
2
|
Λ
ε
2
.
http://novasinergia.unach.edu.ec 10
Como consecuencia de la demostraci
´
on obtenemos
que
Teorema 3.12. Sea f : R \{0} −→ R de clase C
1
tal
que f
0
(x) > 0 para todo x 6= 1. Si existen intervalos
J
0
= [a
0
, b
0
] ⊂ (−∞, 0) y J
1
= [a
1
, b
1
] ⊂ (0, +∞)
tales que f
0
(x) > 1 para todo x ∈ J
0
∪ J
1
y f (J
0
) =
[a
0
, b
1
] = f (J
1
), entonces
a) Λ
f
= ∩
n≥1
f
−n
(J
0
∪ J
1
) es un conjunto de cantor
invariante por f ;
b) f |
Λ
f
es transitivo y el conjunto de puntos
peri
´
odicos es denso;
c) f |
Λ
f
es topol
´
ogicamente conjugado al shift
unilateral σ : Σ
2
→ Σ
2
.
3.3 Demostraci
´
on del Teorema
Principal
Recordemos que
F
i
:= { f : R\{0} 7→ R : f es de clase C
i
}, (10)
para i = 0, 1, 2. Decimos que g ∈ F
0
es δ − C
0
pr
´
oximo de B
ε
si |g(x)−B
ε
(x)| < δ para todo x 6= 0.
Tambi
´
en, decimos que g ∈ F
1
es δ −C
1
pr
´
oximo de
B
ε
si g es δ −C
0
pr
´
oximo de B
ε
y |g
0
(x)−B
0
ε
(x)| < δ
para todo x 6= 0.
Lema 3.13. Para cualquier 0 < δ
0
< 1 y para toda
funci
´
on g ∈ F
0
tal que g es δ
0
−C
0
pr
´
oximo de B
ε
,
se cumple que:
a) lim
x→+∞
g(x) = +∞ y lim
x→−∞
g(x) = −∞.
b) lim
x→0
+
g(x) = −∞ y lim
x→0
−
g(x) = +∞
Proof. Por hip
´
otesis tenemos que:
|g(x) − B
ε
(x)| < δ
0
, para todo x ∈ R\{0}
⇐⇒ − δ
0
< g(x) − B
ε
(x) < δ
0
⇐⇒ B
ε
(x) − δ
0
< g(x) < B
ε
(x) + δ
0
,
Luego, aplicando los l
´
ımites correspondientes
obtenemos el resultado.
El siguiente resultado es bien conocido, la
diferencia aqu
´
ı es que precisamos el intervalo donde
aparece el nuevo punto fijo de la transformaci
´
on
perturbada.
Observaci
´
on 3.14. Si B una transformaci
´
on tipo
Boole y ε > 0, entonces dado M > 0 existe λ > 1
tal que B
0
ε
(x) > λ para todo x ∈ [−M, 0) ∪ (0, M].
Lema 3.15. Si B una transformaci
´
on tipo Boole y
ε > 0, entonces existe δ
2
> tal que si g es δ
2
−C
1
pr
´
oximo de B
ε
se tiene:
a) existe un
´
unico p
+
∈ (0, +∞) tal que g(p
+
) =
p
+
;
b) existe un
´
unico p
−
∈ (−∞, 0) tal que g(p
−
) =
p
−
;
c) existe λ > 1 tal que g
0
(x) > λ para todo x ∈
[p
−
, 0) ∪ (0, p
+
].
Proof. Como B
ε
(x) − x −→ ε cuando x → +∞ y
tambi
´
en B
ε
(x) − x −→ −ε cuando x → −∞, existe
M > max{x
1
, −x
0
} tal que |B
ε
(x) − x| >
ε
2
, para
todo |x| ≥ M. Luego, por la observaci
´
on 3.14 existe
λ
1
> 1 tal que B
0
ε
(x) > λ
1
para todo x ∈ [−M, 0) ∪
(0, M]. Ahora, por otro lado, considere δ > 0, pero
acotado superiormente de la siguiente forma: δ <
min{−
1
4
x
0
,
1
4
x
1
,
1
4
(M − x
1
),
1
4
(x
0
+ M)}. Tambi
´
en,
considere δ
1
> 0 suficientemente peque
˜
no tal que
δ
1
<
1
2
min{|B
ε
(x
1
− δ) − (x
1
− δ)|, |B
ε
(x
1
+ δ) −
(x
1
+ δ)|,
ε
2
, (λ
1
− 1)}. Para este δ
1
, considere g
δ
1
−C
1
pr
´
oximo de B
ε
. Entonces,
g(x
1
− δ) − (x
1
− δ) < δ
2
+ B
ε
(x
1
− δ) − (x
1
− δ),
(11a)
−δ
2
+ B
ε
(x
1
+ δ) − (x
1
+ δ) < g(x
1
+ δ) − (x
1
+ δ).
(11b)
Como, δ + B
ε
(x
1
− δ) − (x
1
− δ) < δ
2
− 2δ
2
< 0
se sigue que, g(x
1
− δ) − (x
1
− δ) < 0, es decir,
g(x
1
− δ) < (x
1
− δ). Ahora, de la forma en que
fue tomado δ
2
se tiene que −δ
2
+B
ε
(x
1
+δ)−(x
1
+
δ) > −δ
2
+ 2δ
2
> 0, por tanto g(x
1
+ δ) > (x
1
+ δ).
Por el Teorema de valores intermedios existe p
+
∈
(x
1
− δ, x
1
+ δ). Por otro lado, ya que g es δ
1
−C
1
pr
´
oximo de B
ε
. Entonces, −δ
2
+ B
0
ε
(x) < g
0
(x) <
δ
2
+ B
0
ε
(x) para todo x ∈ R \ {0}. Ya que, δ
2
se
tiene que −δ
2
+ B
0
ε
(x) > −δ
2
+ λ
1
para todo x ∈
(0, M] y de la forma en que tomamos δ
2
, tenemos
−δ
2
+ B
0
ε
(x) > −
1
2
(λ
1
− 1) + λ
1
= 1 +
1
2
λ
1
. De
esto, tomando λ := 1 +
1
2
λ
1
, resulta que g
0
(x) > λ
para todo x ∈ (0, M]. Esto junto con el hecho que
p
+
∈ (0, M] prueba el item c) y prueba que p
+
es
el
´
unico punto fijo en (0, M]. Sea x > M, entonces
B
ε
(x) − x >
ε
2
. Como −δ
2
+ B
ε
(x) < g(x) y de la
escogencia de δ
2
−δ
2
+B
ε
(x)−x > −δ
2
+
ε
2
> −δ
2
+2δ
2
> 0. (12)
Luego, g(x) > x. Con esto probamos el item a). La
prueba del item b) es an
´
aloga y se toma al final el
menor δ
2
.
Proof. Teorema Principal 1
Sea ε > 0, considere δ
2
> 0 como en el lema 3.15.
http://novasinergia.unach.edu.ec 11
Considere g ∈ F
1
tal que g es δ
2
−C
1
pr
´
oximo de
B
ε
. Entonces, 0 < 1 − δ
2
< {g
0
(x) : x ∈ R\{0}} lo
que implica que g es mon
´
otona creciente restringida
sobre cada componente conexa, en consecuencia
g|
(−∞,0)
: (−∞, 0) 7→ R y g|
(0,+∞)
: (0, +∞) 7→ R son
homeomorfismos. Denotemos los puntos fijos de g
como y
0
:= p
−
y y
1
;= p
+
. Tambi
´
en, denotaremos
por y
10
a la preimagen positiva de y
0
y y
01
a la
preimagen negativa de y
1
, esto es g
−1
+
(y
0
) = y
10
y
g
−1
−
(y
1
) = y
01
. Definimos J
0
:= [y
0
, y
01
] ⊂ (−∞, 0) y
J
1
:= [y
10
, y
1
] ⊂ (0, +∞). Entonces, por el lema 3.15
g
0
(x) > 1 para todo x ∈ J
0
∪ J
1
. En consecuencia,
aplicando el Teorema 3.12
Λ
g
=
\
n≥1
f
−n
(J
0
∪ J
1
) (13)
es un conjunto de cantor, Λ
g
es transitivo respecto
g|
Λ
g
y g|
Λ
g
es topol
´
ogicamente conjugado al shift
unilateral σ : Σ
2
→ Σ
2
. Por el Teorema 1.2, B
ε
|
Λ
B
ε
es topol
´
ogicamente conjugado al shift unilateral
σ : Σ
2
→ Σ
2
. Por transitividad de la conjugaci
´
on
topol
´
ogica g|
Λ
g
es topol
´
ogicamente conjugado a
B
ε
|
Λ
B
ε
. En consecuencia, B
ε
es robustamente
transitivo.
Corolario 3.16. Sea g ∈ F
1
tal que g es δ
2
− C
1
pr
´
oximo de B
ε
. Si x ∈ Λ
c
g
\(∪
n≥0
g
−n
(0)), entonces
|g
n
(x)| → +∞, cuando n → +∞.
La prueba es an
´
aloga a la proposici
´
on 3.5, aplicando
el lema 3.15
3.4 Ejemplos de Aplicaci
´
on
Considere la transformaci
´
on B
a
: R \ {0} −→ R
definida por B
a
(x) = x −
a
x
. Note que, B
0
a
(x) > 1
para todo x 6= 0, B
a
tiene as
´
ıntota vertical en x = 0
y la recta y = x es una as
´
ıntota oblicua. B
a
no
tiene puntos fijos, de hecho, B
(
x) < x si x > 0 y
B
a
(x) < x si x < 0. Lo que significa que B
a
es
una transformaci
´
on tipo Boole para toda a > 0.
Aplicando el Teorema Principal a la transformaci
´
on
B
aε
(x) :=
B
a
(x) + ε, si x > 0
B
a
(x) − ε, si x < 0
(14)
tenemos que B
aε
es robustamente transitiva para
todo a > 0 y ε > 0. Esto es, existe un conjunto de
cantor Λ
aε
invariante tal que B
aε
restricto a Λ
aε
es
transitiva. Adem
´
as el conjunto de puntos peri
´
odicos
es denso en Λ
aε
.
4 Conclusi
´
on
a) Si consideramos B(x) = x −
1
x
la famosa
transformaci
´
on de Boole. Entonces su traslaci
´
on
B
ε
converge uniformemente a B, cuando ε →
0. Observe que, B est
´
a siendo aproximada por
transformaciones robustamente tansitivas. Note
que, para cada ε > 0, Λ
ε
⊂ [−
1
ε
,
1
ε
], donde [−
1
ε
,
1
ε
]
es el intervalo compacto m
´
as peque
˜
no que contiene
a Λ
ε
. En (Mu
˜
noz, 2015) se prueba para B y
las transformaciones tipo Boole que Λ
B
= R \
∪
n≥0
B
−n
(0) es un conjunto residual, totalmente
disconexo, invariante y transitivo. Contrastando
´
esto con nuestro resultado, nos hacemos las
siguientes preguntas:
Pregunta 4.1. Si B es una transformaci
´
on tipo
Boole. De qu
´
e forma converge Λ
ε
a Λ
B
, cuando
ε → 0.
Pregunta 4.2. A patir de qu
´
e valor de ε > 0
se obtiene que la medida de Lebesgue de Λ
ε
es
positiva.
Pregunta 4.3. Si B es una transformaci
´
on
tipo Boole. B
ε
posee una medida invariante
absolutamente continua a la de Lebesgue. Tal
medida es erg
´
odica.
b) De la forma en que se abord
´
o la demostraci
´
on
del Teorema 1.2, si g ∈ F
1
es una perturbaci
´
on C
1
de una transformaci
´
on tipo Boole, tal que g tiene
un
´
unico punto fijo en cada componente conexa,
digamos y
0
< 0 y y
1
> 0, y g satisface que g
0
(x) > 1
para todo x ∈ [y
0
, y
1
]. Enotnces, existe un conjunto
de cantor Λ
g
invariante tal que g restricto a Λ
g
es
transitivo. Haciendo el mismo tipo de perturbaci
´
on
que se hizo para la demostraci
´
on del Teorema
Principal se puede mostrar que g es robustamente
transitiva.
Para probar que Λ
g
es transitivo, se hace
consiguiendo una conjugaci
´
on topol
´
ogica entre g|
Λ
g
el shift unilateral σ : Σ
2
−→ Σ
2
. En consecuencia
g|
Λ
g
tiene la misma din
´
amica que las traslaciones
de las transformaciones tipo Boole.
c) Sea B una transformaci
´
on tipo Boole.
Consideremos ε > 0 y definamos la traslaci
´
on
B
ε
(x) :=
B(x) − ε, si x > 0
B(x) + ε, si x < 0
(15)
Note que, B
ε
no posee puntos fijos, pero sigue
teniendo as
´
ıntota vertical en x = 0 y B
0
ε
(x) > 1 para
todo x 6= 0. En (Mu
˜
noz, 2015) se prueba que Λ
B
ε
=
R \ ∪
n≥0
B
−n
ε
(0) es un conjunto residual, totalmente
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disconexo invariante y transitivo respecto a B
ε
.
Entonces
Pregunta 4.4. La transformaci
´
on B
ε
es
robustamente transitiva.
d) Considere la familia a dos par
´
ametros B
aε
de
la subsecci
´
on 3.4, aplicando el Teorema Principal
y el corolario 3.11, se tiene que si los par
´
ametros
a, a
0
, ε, ε
0
> 0, entones B
aε
|
Λ
aε
es topol
´
ogicamente
conjugado a B
a
0
ε
0
|
Λ
a
0
ε
0
.
e) Considere la familia a dos par
´
ametros de la
transformaci
´
on de Boole, B
aε
(x) = x −
a
x
+ ε, para
a > 0 y ε > 0, estudiada en (Prykarpatsky y
Feldman, 2006).
Pregunta 4.5. B
aε
(x) = x −
a
x
+ ε, para a > 0 y
ε > 0, posee un conjunto invariante totalmente
disconexo, no cerrado, no acotado y robustamente
transitivo.
Conflicto de Intereses
Los autores declaramos que no existe ning
´
un tipo de
Conflicto de Inter
´
es en este trabajo.
Referencias
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transformations. Israel Journal of Mathematics, 45,
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´
e, BXIV,
233–253.
Adler, R. y Weiss, B. (1973). The ergodic infinite measure
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Mathematics, 16( 3), 263–278.
Boole, G. (1857). On the comparasion of transcendents
with certain applications to the theory of definite
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Society of London, 147( III), 745–803.
Devaney, R. L. (1989). An Introduction to Chaotic
Dynamical Systems, second edition. USA: Addison
Wesley.
Mu
˜
noz, S. (2015). Robust transitivity of maps of the real
line. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 35(
3), 1163–1177.
Neuwirth, J. H. (1978). Ergodicity of some mapping of
the circle and the line. Israel Journal of Mathematics,
31, 359–367.
Prykarpatsky, A. K. y Feldman, J. (2006). On the
ergodic and spectral properties of generalized boole
transformations. i. Miskolc Mathematical Notes, 7( 1),
91–99.
Robinson, C. (1999). Dynamical Systems: Stability,
Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Rat
´
on: CRC
Press, Taylor & Francis Group.
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