Universidad Nacional de Chimborazo
NOVASINERGIA, 2018, Vol. 1, No. 1, diciembre-mayo, (33-40)
ISSN: 2631-2654
https://doi.org/10.37135/unach.ns.001.01.04
Artículo de Investigación
http://novasinergia.unach.edu.ec
Efecto de los coeficientes de aceleración de PSO en el desempeño de una
Red Neuronal Artificial aplicada a la Estimación de Costos
Effect of the PSO acceleration coefficients on the performance of an Artificial
Neural Network applied to the Cost Estimation
Elba Bodero Poveda
1
, Guillermo Leguizamón
2*
1
Facultad de Informática, Universidad Nacional de La Plata, La Plata, Argentina, 1900
2
Departamento de Informática, Universidad Nacional de San Luis, San Luis, Argentina, 5700;
elba.boderop@info.unlp.edu.ar
* Correspondencia: legui@unsl.edu.ar
Recibido 08 mayo 2018; Aceptado 21 mayo 2018; Publicado 12 junio 2018
Resumen:
La metaheurística poblacional Particle Swarm Optimization (PSO) desde su
aparición ha demostrado ser eficiente en la solución de problemas de
optimización, la variación de sus parámetros ha permitido mejorar su
eficiencia. El presente trabajo está centrado en realizar un estudio comparativo
del efecto de los coeficientes de aceleración, c
1
y c
2
, en el desempeño de PSO
para resolver un problema de estimación de costos por medio de una Red
Neuronal Artificial (ANN) feedforward sigmoidal. Se evaluó un rango de
valores en los coeficientes de aceleración, los demás parámetros, en este caso
factor inercial y el tamaño de enjambre se trabajaron con valores fijos. La
validación de la solución se realizó por medio de un conjunto de datos de
fabricación de tuberías para transferencia de fluidos utilizada en la industria,
proveniente de un caso real, con información relacionada con peso, tipo de
soldadura, diámetro y el correspondiente costo. La función objetivo utilizada
es el Error Cuadrático Medio (MSE), calculado entre los valores observados
y los valores estimados por la ANN. A partir de los resultados se puede
observar que valores muy pequeños de c
1
y c
2
obtienen baja exactitud en la
estimación de costos de fabricación de tubería, en tanto que la mejor exactitud
es lograda por medio de coeficientes de aceleración con valores mayores o
iguales a 0.5.
Palabras clave:
Coeficientes de Aceleración PSO, Estimación de Costos, Metaheurística
Poblacional, Particle Swarm Optimization, Red Neuronal Artificial.
Abstract:
The particle metaheuristics Particle Swarm Optimization (PSO) since its
appearance has proven to be efficient in solving optimization problems, the
variation of its parameters has allowed to improve its efficiency. The present
work is focused on performing a comparative study of the effect of the
acceleration coefficients c
1
and c
2,
on the performance of PSO to solve a
problem of cost estimation, through an Artificial Neural Network (ANN)
sigmoidal feedforward. A range of values was evaluated in the acceleration
coefficients, the other parameters, in this case inertial factor and the swarm
size were worked with fixed values. The validation of the solution was carried
out by means of a pipeline data set for fluid transfer used in the industry,
coming from a real case, with information related to weight, welding type,
diameter and the corresponding cost. The objective function used is the Mean
Square Error (MSE), calculated between the observed values and the values
estimated by the ANN. From the results it can be seen that very small values
of c
1
and c
2
obtain low accuracy in the estimation of pipe manufacturing costs,
while the best accuracy is achieved by means of acceleration coefficients with
values greater than or equal to 0.5.
Keywords:
PSO Acceleration Coefficients, Estimation of Costs, Population
Metaheuristics, Particle Swarm Optimization, Artificial Neural Network.
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1 Introducción
Particle Swarm Optimization (PSO) como método
estocástico de optimización global inicia con estudios
realizados por Kennedy y Eberhart (1995), quienes se
fijan como objetivo inicial simular gráficamente el
movimiento sincronizado e impredecible de grupos
tales como los bancos de peces o las bandadas de aves,
intrigados por la capacidad de estos grupos para
separarse, reagruparse o encontrar alimento.
Dentro de esta misma línea, con trabajos previos en el
ámbito de la biología y de la sociología, que
concluyen que el comportamiento, inteligencia y
movimiento de estas agrupaciones, entre las cuales se
podría incluir con un cierto grado de abstracción a los
seres humanos, está relacionado directamente con la
capacidad de los individuos para compartir
información y aprovecharse de la experiencia
semejante acumulada.
Kennedy y Eberhart (1995), modelan dicho
comportamiento de forma matemática utilizando
expresiones simples que revelan su potencial como
método de optimización. En la terminología utilizada
en PSO, Kennedy y Eberhart (1995, 2001) introducen
el término general partícula o agente para representar
a los peces, pájaros, abejas, hormigas o cualquier otro
tipo de individuos que exhiban un comportamiento
social como grupo, en forma de una colección de
agentes que interactúan entre sí.
De acuerdo con los fundamentos teóricos del método,
el movimiento de cada una de estas partículas hacia un
objetivo común en dos dimensiones está condicionado
por dos factores básicos, la memoria autobiográfica de
la partícula o nostalgia y la influencia social de todo el
enjambre. A nivel computacional, como método de
optimización, esta filosofía puede extenderse a un
espacio N-dimensional de acuerdo con el problema
bajo análisis. La posición instantánea de cada una de
las partículas de la población en el espacio N-
dimensional representa una solución potencial, siendo
N el número de incógnitas del problema original.
Básicamente, el proceso evolutivo se reduce a mover
cada partícula dentro del espacio de soluciones con
una velocidad que variará de acuerdo a su velocidad
actual, a la memoria de la partícula y a la información
global que comparte el resto del enjambre, utilizando
una función de fitness para cuantificar la calidad de
cada partícula en función de la posición que ésta
ocupe, más allá de la propia naturaleza del método, los
esquemas existentes para la implementación son muy
diversos.
En la investigación realizada por Carlisle y Dozier
(2001) se muestran variantes dependiendo de cómo se
actualicen las posiciones de las partículas surgen las
versiones síncrona y asíncrona del algoritmo.
Adicionalmente, dependiendo de cómo se haga influir
la experiencia acumulada por el enjambre sobre el
movimiento de cada una de las partículas que lo
integran, se puede distinguir entre PSO local y global,
como lo indican Eberhart y Shi (2001). Son muy
extensas las variantes que los propios autores e
investigadores plantean, con el propósito de mejorar
el rendimiento del algoritmo original en aplicaciones
concretas.
Trasladando la filosofía de PSO al campo de la vida
artificial y del cómputo evolutivo, entre las múltiples
áreas donde ha sido aplicado con éxito, destacan por
su importancia: optimización de funciones y
resolución de problemas matemáticos complejos
(Laskari et al., 2002), (Hu et al., 2003), optimización
de pronóstico sobre algoritmos clásicos (Barba y
Rodríguez, 2015), entrenamiento de redes neuronales
(Ismail y Engelbrecht, 2000), (Srinivasan et al., 2003),
(Eberhart, Hu, 1999), (Wang et al., 2004),
optimización de sistemas dinámicos (Hu y Eberhart,
2002), (Vesterstrom y Riget, 2002), procesado de
señal (Zhao y Zheng, 2004), (Lu y Yan, 2004),
gestión, planificación y optimización de recursos en
redes de distribución de energía eléctrica (Naka et al.,
2001), (Koay y Srinivasan, 2003), (Naka et al., 2003),
(Miranda y Fonseca, 2002), (Gaing, 2003), (Chang y
Lu, 2002), gestión de redes de sensores
(Veeramachaneni y Osadciw, 2004a),
(Veeramachaneni y Osadciw, 2004b), planificación de
red en servicios de telecomunicación (Yangyang et
al., 2004), gestión empresarial (Tasgetiren y Liang,
2003) y teoría de juegos (Franken y Engelbrecht,
2004), entre otros.
En las aplicaciones en el ámbito de la vida artificial se
deben respetar cinco principios básicos sobre la
inteligencia de grupo (Kennedy y Eberhart, 1995),
(Millonas, 1994), estos principios son: proximidad,
calidad, diversidad de respuesta, estabilidad y
adaptabilidad.
Con base en lo anteriormente expuesto, se plantea un
estudio comparativo que muestra los cambios en las
constantes de aceleración c
1
y c
2
en la actualización de
la posición de las partículas en PSO, con lo que se
resolverá un problema de estimación de costos,
mediante una Red Neuronal Artificial tipo
feedforward sigmoidal con aprendizaje PSO. El
documento está estructurado de la siguiente manera.
La sección 2 se describe la metodología a utilizar, en
la sección 3 se presentan los resultados y discusión, y
en la sección 4 se muestran las conclusiones.
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2 Metodología
En la formulación de PSO se define la velocidad de
partícula como el único operador disponible para
controlar la evolución de la optimización. Se
considera una población de I partículas donde cada
partícula del enjambre se identifica con dos variables
de estado inicializadas aleatoriamente dentro del
espacio N-dimensional que establece el problema a
optimizar: un vector velocidad (1a) y un vector de
posición (1b) que corresponde a una solución
potencial al problema de optimización:
, (1a)
, (1b)
(1c)
Los límites de los parámetros a optimizar (1c)
conforman en su conjunto el espacio de búsqueda al
cual debe restringirse el movimiento del enjambre.
Adicionalmente cada partícula mantiene en memoria
información de la posición espacial asociada con la
mejor solución históricamente visitada por ésta (2a) y
también conoce la posición de la mejor partícula o
solución encontrada por todos sus semejantes (2b). El
movimiento del enjambre se realiza en pasos
temporales, que se traducen a nivel de algoritmo en
iteraciones contiguas.
(2a)
(2b)
En cada iteración del método, , cada una de las
partículas de la población recorre el espacio de
soluciones con una velocidad V
i
hacia nuevas
posiciones
, de acuerdo con su propia experiencia
y con la experiencia aportada por el mejor de sus
vecinos, . En las primeras versiones del algoritmo
(Kennedy y Eberhart, 1995) ésta formulación se
reduce a las ecuaciones mostradas a continuación (3a)
y (3b).
(3a)
(3b)
Entonces, v
in
(k) y x
in
(k) representan, la velocidad y
posición en la iteración o instante de tiempo k de la
partícula i en la dimensión n-ésima del espacio de
búsqueda. Los factores c
1
y c
2
son las denominadas
constantes de aceleración cognitiva y social, que
determinan en qué medida influyen sobre el
movimiento de la partícula su propia memoria y la
cooperación entre individuos, respectivamente. Los
términos r
1
(k) y r
2
(k) son dos números aleatorios
uniformemente distribuidos entre 0 y 1, U [0,1], cuyo
objetivo es emular el comportamiento estocástico y un
tanto impredecible que exhibe la población del
enjambre. Después de calcular la nueva velocidad de
la partícula i en la dimensión n, la nueva posición
x
in
(k+1) se actualiza directamente de acuerdo con
(3b), donde se asume que la velocidad se aplica
durante un cierto período de tiempo , típicamente de
valor unitario. El proceso descrito se extiende al
espacio N-dimensional, de forma que se van
componiendo iterativamente nuevos vectores de
posición X
i
, utilizando, como en cualquier otro método
de cómputo evolutivo una función de fitness para
ponderar la calidad de dicha solución parcial,
actualizando los vectores P
i
y G si se detectan
resultados mejores.
El movimiento de los agentes sobre el espacio de
soluciones y el rendimiento del algoritmo está
condicionado por el grado de contribución de las tres
componentes de la velocidad en (3a) y que tienen que
ver con el comportamiento social como método de
optimización global: hábito o inercia, para considerar
la tendencia de la partícula; memoria, nostalgia o
autoaprendizaje para incluir la experiencia de la propia
partícula, y cooperación, conocimiento social,
conocimiento de grupo o información compartida,
para reflejar el intercambio de información y el
comportamiento social como grupo (Kennedy, 1997).
El procedimiento computacional completo para el
algoritmo PSO se puede resumir de la siguiente
manera:
Paso 1: Inicialización.
Establecer tiempo t=0 y número de partículas
NP.
Genera partículas NP al azar
cuando
.
Generar las velocidades iniciales para cada
partícula aleatoriamente,
cuando
Evaluar cada partícula en el enjambre usando
la función objetivo
para
Para cada partícula en el enjambre, establecer
, cuando
junto con el mejor valor
de fitness,
para
Encontrar el mejor valor de fitness entre todo
el enjambre, de manera que
para con sus posiciones
correspondientes
. Establecer el óptimo
global a
tal que
con su valor de
fitness
Paso 2: Actualizar el contador de iteraciones
t = t +1.
Paso 3: Actualizar el peso inercial.
donde max_fes, FES,
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, y
son el número máximo de funciones
de evaluación, número de funciones de
evaluación, peso inercial inicial y peso
inercial final, respectivamente.
Paso 4: Actualizar la velocidad.
donde,
y
son los
coeficientes de aceleración;
y
son
números aleatorios uniformes entre (0,1).
Paso 5: Actualizar posición
Paso 6: Actualizar
Cada partícula se evalúa mediante el uso de
permutación para ver si mejora
,
siempre que
para
entonces el mejor
se actualiza como:
y
Paso 7: Actualizar
Encuentra el valor mínimo
Es decir,
, ;
Si
, entonces el
es
actualizado a
y
Paso 8: Aplicar criterio de parada.
Si el número de evaluaciones de funciones
excede el número máximo de evaluaciones
de funciones, para: caso contrario regresa al
paso 2.
El modelo de estimación de Redes Neuronales
Artificiales tiene una estructura común de tres capas
(Freeman y Skapura, 1991); las entradas son peso, tipo
de soldadura y diámetro; en la capa oculta se aplica la
función de transferencia sigmoidea, y en la capa de
salida se obtiene el valor estimado. El resultado de
ANN es:
(4a)
(4b)
donde es el valor estimado (4a), Q es el número de
nodos ocultos,
y
son los pesos lineales y no
lineales de las conexiones ANN, respectivamente,
representa i ésima variable de entrada. La expresión
analítica de la función de transferencia sigmoidea (5)
es:
(5)
El peso de las conexiones ANN, y se ajustan con
el algoritmo de aprendizaje PSO. En la Fig. 1 se ilustra
la integración de la ANN con PSO. Se inicializa el
enjambre de partículas con un tamaño determinado.
Se calcula la función de costo (MSE descrita más
adelante), correspondiente a cada peso de las
conexiones de la ANN. Cuando el mejor desempeño
es alcanzado, en este caso el Error Mínimo, el
algoritmo finaliza; caso contrario se realiza una nueva
búsqueda de posición para cada partícula.
Figura 1: Esquema de funcionamiento de ANN-PSO.
Existen diferentes métricas para evaluar el
rendimiento de la ANN, en este trabajo se calculan la
Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RMSE)
(6a), Error Cuadrático Medio (MSE) (6b) y el
Coeficiente de Determinación (R
2
) (6c), como se
muestra a continuación,
(6a)
(6b)
(6c)
Donde, a partir de la muestra de validación,
es el i-
ésimo valor observado,
es el i-ésimo valor
estimado, es la media del valor observado, y N es el
número de muestras.
3 Resultados y Discusión
En la aplicación empírica, una ANN feedforward
sigmoidal es implementada para evaluar el algoritmo
PSO. La ANN es utilizada en este caso para la
estimación de costos de construcción industrial.
Para este estudio se utilizaron 2.253 datos de un
fabricante real de elementos de tubería para
transferencia de fluidos en operaciones de minería a
INICIALIZAR LA LOCALIZACIÓN ALEATORIA Y LA VELOCIDAD DE
CADA PARTÍCULA
EJECUTAR ANN PARA CALCULAR EL FITNESS DE CADA PARTÍCULA
EL MEJOR FITNESS ES LO
SUFICIENTEMENTE BUENO
SALIDA
CAMBIAR LA UBICACIÓN DE BÚSQUEDA DE CADA PARTÍCULA
si
no
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gran escala (Rodríguez y Durán, 2013). La base de
datos incluye un conjunto de 6 variables de entrada y
1 de salida. Las variables significativas fueron
identificadas por medio de un análisis de correlación
entre las entradas y las salidas, en este caso son, peso,
tipo de soldadura y diámetro.
El conjunto de datos se divide en dos partes: un
conjunto de datos de entrenamiento (con el 75%) y un
conjunto de datos de prueba con el restante 25%.
El éxito del algoritmo radica en su capacidad de
ajustar las posiciones de las partículas en un área del
espacio de soluciones prometedora, de acuerdo a una
función objetivo que se desea minimizar, en este caso
el Error Cuadrático Medio (MSE).
En la figura 2 se muestran los resultados del
desempeño de una ANN (3,5,1), de la función de costo
Error Cuadrático Medio (Mean Squared Error, MSE),
y coeficientes de aceleración, c
1
=0.05, c
2
=0.05. A
partir de la figura, se observa que con más de 200
repeticiones el algoritmo converge en el mínimo. En
la figura 3 se han variado los coeficientes a c
1
=0.2,
c
2
=0.2, como resultado se observa que el algoritmo
logra el mínimo con alrededor de 400 repeticiones.
Mientras que en la figura 4, se ilustran los resultados
con los parámetros c
1
=0.5, c
2
=0.5, la función converge
en más de 300 iteraciones. En la figura 5, se presentan
los resultados con los parámetros c
1
=0.95, c
2
=0.05, la
función converge en 400 iteraciones, al igual que en la
figura 6, la que usa c
1
=0.05, c
2
=0.95. En la figura 7 se
presentan los resultados con los parámetros c
1
=0.95,
c
2
=0.95, la función converge en menos de 400
iteraciones.
Los resultados de las métricas aplicadas para evaluar
la exactitud de la estimación por medio de la ANN-
PSO se muestran en la tabla 1. El experimento se
repitió 3 veces usando la misma configuración. A
partir de los resultados se puede observar que valores
muy pequeños de c
1
y c
2
(cercanos a cero) obtienen
baja exactitud en la estimación de costos de
fabricación de tubería, en tanto que la mejor exactitud
es lograda por medio de una ANN cuyos coeficientes
de aceleración son mayores o iguales a 0.5. Los
resultados presentados en la tabla guardan relación
con las aseveraciones de Duarte y Quiroga (2010),
quienes determinan que los dos coeficientes de
aceleración cercanos a cero producirán una búsqueda
fina en una región, mientras coeficientes cercanos a
uno permitirán a la partícula la posibilidad de
sobrepasar al
y al
resultando en una
búsqueda amplia.
Los valores obtenidos en las métricas RMSE y R
2
en el
presente experimento, no difieren en mayor medida de
los obtenidos por medio de un modelo neuronal más
complejo basado en una ANN recurrente usada por
Barba y Bodero (2017) para la estimación de costos de
tuberías que aplica los mismos datos.
Las condiciones de término comúnmente usadas para
finalizar el proceso de optimización son:
Número máximo de iteraciones: El proceso
termina después de alcanzar un número fijo de
iteraciones.
Número de iteraciones sin mejoras: El proceso de
iteración termina después que se alcanza un
número fijo de iteraciones en la que no se han
obtenido alguna mejora en términos de solución.
Error mínimo de la función objetivo: El error entre
el valor obtenido de la función objetivo y el mejor
valor de eficacia (fitness) es menor que un umbral
prefijo esperado.
El mal ajuste de los parámetros puede provocar que el
PSO converja a una solución en pocas iteraciones, o a
una buena solución en muchas iteraciones. A menudo,
PSO puede encontrar una mala solución en pocas
iteraciones (conocida como convergencia prematura),
o una mala solución en muchas iteraciones.
Figura 2: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.05, c
2
=0.05.
Figura 3: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.2, c
2
=0.2.
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Figura 4: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.5, c
2
=0.5.
Figura 5: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.05, c
2
=0.95.
Figura 6: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.95, c
2
=0.05.
Figura 7: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c
1
=0.95, c
2
=0. 95.
Tabla 1: Resultados de la exactitud en la estimación, a partir de diferentes valores de c
1
y c
2
.
Repetición 1
Repetición 2
Repetición 3
Promedio
c
1
c
2
RMSE
R
2
RMSE
R
2
RMSE
R
2
RMSE
R
2
0.05
0.05
0.1937
53.0%
0.2209
38.9%
0.2088
45.4%
0.2078
45.8%
0.2
0.2
0.1859
56.8%
0.0830
91.7%
0.1595
74.5%
0.1428
74.3%
0.5
0.5
0.0640
94.9%
0.0656
94.6%
0.0671
94.5%
0.0655
94.7%
0.05
0.95
0.0615
95.3%
0.0671
94.8%
0.0607
95.4%
0.0631
95.2%
0.95
0.05
0.1031
88.2%
0.0985
89.0%
0.0641
95.0%
0.0885
90.7%
0.95
0.95
0.0623
95.1%
0.0611
95.3%
0.0610
95.3%
0.0614
95.2%
2.95
2.95
0.0618
95.3%
0.0611
95.4%
0.0635
94.9%
0.0621
95.2%
5.95
2.95
0.0612
95.2%
0.0618
95.2%
0.0626
95.3%
0.0618
95.2%
5.95
5.95
0.0612
95.3%
0.0773
95.0%
0.0655
95.1%
0.0680
95.1%
10
10
0.0675
95.3%
0.0656
95.1%
0.0626
95.2%
0.0652
95.2%
4 Conclusiones
PSO se puede definir como un método de
optimización rápido, fácil de implementar y eficaz, en
el cual los parámetros a sintonizar incluyen el peso
inercial, las constantes de aceleración c
1
y c
2
, el
tamaño de la población y el límite superior de la
velocidad v
max
; sin entrar a valorar aún la influencia
del tipo de topología de la población, la importancia
determinante de la función de fitness o la inserción de
técnicas alternativas para mitigar el riesgo de
convergencia prematura inherente a PSO. En
definitiva, la formulación de PSO se reduce a
caracterizar el movimiento de las partículas en base a
un operador velocidad que debe aunar exploración y
convergencia, descomponiendo para ello la velocidad
en tres componentes en un intento por sintetizar un
comportamiento social.
En este contexto los valores de los coeficientes de
aceleración de PSO c
1
y c
2
juegan un papel importante
dentro del modelo del algoritmo: c
1
> 0 y c
2
= 0, las
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partículas serán independientes; c
1
= 0 y c
2
> 0,
entonces las partículas serán colectivas; c
1
= c
2
, las
partículas serán atraídas por un valor promedio; c
1
>
c
2
, la experiencia propia es mayor que la del grupo; c
1
< c
2
, la experiencia del grupo es mayor que la propia;
si c
1
y c
2
disminuyen, las trayectorias de
desplazamiento de las partículas son suaves; y si, c
1
y
c
2
aumentan, entonces los movimientos de las
partículas serán abruptos.
La capacidad de ajustar las posiciones de las
partículas en un espacio de soluciones satisfactoria,
tomando en cuenta la función objetivo a minimizar
(Error Cuadrático Medio - MSE) garantizó el éxito del
algoritmo del experimento.
Dentro de la fase experimental, para valores muy
pequeños de c
1
y c
2
(cercanos a cero) se obtiene una
baja exactitud en la estimación de costos de
fabricación de tubería. Una ANN ofrece mayor
exactitud con coeficientes de aceleración mayores o
iguales a 0.5, como lo indican en su estudio Duarte y
Quiroga (2010).
Los resultados alcanzados en las métricas RMSE R
2
en este experimento utilizando una Red Neuronal
Artificial tipo feedforward sigmoidal con aprendizaje
PSO no difieren significativamente de los obtenidos
por medio de una ANN recurrente aplicada por Barba
y Bodero (2017), para analizar los mismos datos.
Conflicto de Intereses
Los autores declaran que no existe ningún tipo de
Conflicto de Interés.
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