Novasinergia 2021, 4(2), 38-47. https://doi.org/10.37135/ns.01.08.02 http://novasinergia.unach.edu.ec
Artículo de Investigación
Solución en serie de potencias para el espectro de energía de un potencial
de pozo cuadrado finito unidimensional
An series solution for square-well potential
Carlos J. Fernández-Rojas 1, Freddy Fernández-Rojas 2*
1 Universidad Nacional Experimental Sur del Lago, Mérida, Venezuela, 5101; fernandezca@unesur.edu.ve
2 Departamento de Física, Grupo de Física de la Materia Condensada, Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes, Mérida,
Venezuela, 5101
*Correspondencia: freddyf@ula.ve
Citación: Fernández-Rojas, C.,
&Fernández-Rojas, F., (2021).
Solución en serie de potencias para
el espectro de energía de un
potencial de pozo cuadrado finito
unidimensional. Novasinergia.
4(2). 38-47.
https://doi.org/10.37135/ns.01.08.02
Recibido: 06 abril 2021
Aceptado: 05 julio 2021
Publicación: 01 diciembre 2021
Resumen: En el presente trabajo se estudia el problema de una
partícula en un pozo de potencial cuadrado finito. Los autovalores
correspondientes al hamiltoniano del problema anterior se
encuentran por medio de un método que combina el teorema de
inversión de Lagrange con una relación de recurrencia para calcular
derivadas de orden superior de una función inversa. La metodología
utilizada nos permitió obtener una solución en serie de potencias
para el potencial de pozo cuadrado finito que dependen del número
cuántico principal y de la fuerza de atracción. Por otro lado, nuestros
resultados reproducen, como casos particulares, expresiones
generales de los autovalores para una partícula ubicada en el fondo
del pozo, en la mitad del pozo y en el tope del pozo de potencial. Las
energías calculadas se comparan con las soluciones exactas de la
ecuación trascendental para el pozo finito.
Novasinergia
ISSN: 2631-2654
Palabras clave: Ecuación de Schrödinger, métodos de inversión,
niveles de energía, pozos cuánticos, solución en serie.
Copyright: 2021 derechos
otorgados por los autores a
Novasinergia.
Este es un artículo de acceso abierto
distribuido bajo los términos y
condiciones de una licencia de
Creative Commons Attribution
(CC BY NC).
(http://creativecommons.org/licens
es/by/4.0/).
Abstract: In this work we study the problem of a particle in a finite
square potential well. The eigenvalues corresponding to the
Hamiltonian of the previous problem are found by a method which
combines the Lagrange inversion theorem with a relation of
recurrence to calculate derivatives of higher order of an inverse
function. The methodology used allowed us to obtain a solution in
of power for the finite square well potential that depend on the
principal quantum number and of the force of attraction. On the
other hand, our results reproduce, as special cases, general
expressions of the eigenvalues for a particle located at the bottom of
the well, in the middle of the well and at the top of the potential well.
The calculated energies are compared with the exact solutions of the
transcendental equation for the finite well.
Keywords: Energy levels, inversion methods, Schrödinger
equation, potential well, series solution.
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1. Introducción
El problema de una partícula de masa m en un potencial de pozo cuadrado finito es tratado
en diversos textos de mecánica cuántica (Cohen, Diu & Laloe, 1977; Landau & Lifshitz, 1977;
Messiah, 1961) y constituye, además, un problema básico a resolver en los cursos introductorios de
física moderna dada su importancia para modelar partículas ligadas a una cierta región del espacio.
Aplicaciones del potencial de pozo cuadrado finito son posibles en física molecular y atómica, física
del estado sólido (Mckelvey, 1991) y física nuclear (Park, 1992). En nanotecnología su comprensión
forma las bases para el entendimiento de diversas heteroestructuras de baja dimensionalidad, tales
como pozos cuánticos en semiconductores (Kolbas & Holonyak, 1984). Desafortunadamente el
problema del potencial de pozo cuadrado finito conduce a una solución que contiene ecuaciones
trascendentales, lo que impide expresar la solución en una forma matemática concisa. Como
consecuencia diversos métodos se han aplicado para resolverlo, incluyendo procedimientos
numéricos y gráficos (French & Taylor, 1978; Schiff, 1955; Burge, 1985; Bonfim & Griffiths, 2006).
Más allá de los procedimientos tradicionales que puedan encontrarse en los textos de física cuántica,
algunas soluciones explícitas y novedosas para este problema han sido publicadas por Sierwert,
(1978), Sprung, Wu & Martorell (1992), Aronstein & Stroud (2000), Paul & Nkemzi (2000), Leryonas
& Combescot (2002) y Blümel (2005).
En este artículo se discute una solución en serie basada en el teorema de inversión de Lagrange
(Jeffrey & Jeffreys, 1972), alrededor de un punto general, y demuestra que un método recursivo
introducido en la literatura matemática por (Apostol, 2000), para calcular derivadas de orden
superior de una función inversa en términos de la función original, puede usarse para evaluar los
términos en la serie.
2. Metodología
2.1. Condición de cuantización y niveles de energía exactos.
Para una partícula en movimiento de masa m, confinada en una caja de longitud L y
profundidad V0, el potencial puede ser escrito como:
0
() 0, /2
, /2
Vx xL
V x L
=
Reed (1990) demostró que los niveles de energía para un potencial con estas características pueden
obtenerse a partir de una única ecuación trascendental. De esta ecuación y bajo ciertas observaciones
Sprung,Wu & Martorell (1992) dedujeron la expresión siguiente, en donde las energías de los estados
ligados son soluciones de
1
( ) sin , si 1,2,3,...
2
n
fn
P
−
= + = =
(1)
donde n denota el número cuántico principal.
/P
, es una razón de altura e indica una región
específica del pozo o región de interés La ecuación (1) establece las condiciones de cuantización para
la partícula en el pozo con la interesante novedad de agrupar soluciones pares e impares y de
relacionar a n con la escala de acción
, que depende de la energía E, En general, la importancia de
la ecuación (1) sobre sus predecesoras es la aparición explícita del número cuántico. Con ella, por
ejemplo, se puede determinar directamente el enésimo nivel de energía sin necesidad de encontrar
primero las anteriores
1n−
soluciones cuantizadas,
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2
2
mE L
=
(2)
Para un dado valor de P, con
0
2
2
mV L
P=
(3)
P es una medida de la fuerza de atracción del potencial que depende de la profundidad del pozo.
Los niveles de energía para el caso particular del potencial de pozo cuadrado infinito se obtienen de
forma inmediata haciendo
P→
en la ecuación (1),
2
n
=
(4)
22
2
2
n
EmL
=
(5)
ℏ
(6)
Otras soluciones exactas y simples como la ecuación (6) son posibles para ‘‘ángulos especiales’’ de
/P
en la ecuación (1). En la tabla 1 se muestran algunos valores de
/P
que producen soluciones
cerradas para los niveles de energía de la partícula en el pozo finito (Maor, 1988).
Tabla 1: Algunos valores especiales (ángulos) para
, ecuación (1), que conducen a expresiones simples para las energías
discretas de una partícula en un potencial de pozo cuadrado finito (en unidades de ℏ
).
/P
n
E
0
22
2
n
1/2
2
21
23
n
−
2
2
2
21
22
n
−
3
2
2
21
223
n
−
1
( )
22
1
2n
−
2..2. Solución general en serie de potencias para los niveles de energía de un potencial de pozo
cuadrado finito.
Fórmula de inversión de Lagrange.
Si
()y f x=
es una función que toma un desarrollo de Taylor en potencias convergentes de x
alrededor de algún punto a, con
()fa
=
y derivada primera
´( ) 0fa
, entonces puede demostrarse
que existe una única función
()x g y=
expresable como una serie de potencias en y, la cual converge
en algún punto alrededor de a satisfaciendo
( )
f g y y=
en ese alrededor
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( )
1
1
1
() ! ( )
i
i
i
ixa
yd x a
x g y a i dx f x
−
−
==
−
−
= = +
−
(7)
Fórmulas de Apostol paras derivadas de orden superior.
El teorema de inversión de Lagrange da una expresión formal, ecuación (7), para el desarrollo
en serie de potencias de la función
()gy
(Jeffreys & Jeffreys, 1972). Dada que ésta es la serie de Taylor
para
()gy
, el término dentro de los corchetes en la ecuación (7) representa la i-ésima derivada de g
evaluada en a. A partir de esta observación Apostol (2000) construyó un método para evaluar las
derivadas de g, alrededor de un punto arbitrario a, directamente de la función original
()fx
, sin
introducir series de potencias y sin la necesidad de diferenciar el cociente
()x a f x
−−
. Apostol
(2000) evaluó de forma explícita las derivadas hasta
9i=
y encontró una fórmula para la
( 1)i+
-ésima
derivada dada por
(8)
Donde
i
Y
es un polinomio homogéneo en
12
, , , i
f f f
, con coeficientes enteros, que puede
determinarse sucesivamente mediante la fórmula recursiva
´ (9)
Donde
1
i
Y=
y
´
i
Y
representa la diferenciación de
i
Y
con respecto a x.
Fórmulas explícitas para los niveles de energía del pozo finito
De la ecuación (1) hagamos
/Pr
=
y definamos r como la razón de alturas para el pozo. De
esta última relación al despejar
obtenemos un punto alrededor del cual puede evaluarse la serie.
En consecuencia, al usar la fórmula de Lagrange, ecuación (7), alrededor de
a rP
==
, para invertir
la ecuación (1), resulta
1
11
1! ( ) sin
i
ii
i
irP
d rP
rP i d f x rP r
−
−−
==
−
=+
−−
(10)
1!
ii
i
irP
d
rP i dy
==
=+
(11)
De la observación de Apóstol (2000) se tiene
21
1!
ii
i
irP
Y
rP if
−
==
=+
(12)
Donde
1
sin
2
nrP r
−
= − −
(13)
La ecuación (12) puede evaluarse conociendo
i
Y
, la cual, a su vez, se obtiene de la relación recursiva
ecuación (9) con
11/2
2
2
1
1
1
f
PP
=+
−
(14)
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23/2
2
32
1
f
PP
=
−
(15)
A continuación, se dan algunas expresiones explícitas obtenidas para los coeficientes
i
ii
rP
d
gdy
=
=
:
2
12
1
11
Pr
gPr
−
=−+
(16)
()
23
2
11
rP
gPr
=−
−+
(17)
( )
()
2 2 2
35
22
2 1 1 1
1 1 1
P r r r P
gP r r
+ − + −
=−
− + −
(18)
( )
()
2 2 2
45
2
6 9 8 1 1
11
r P P r rP
gPr
+ + − −
=−
−+
(19)
( ) ( )
( )
()
4 2 3 2 2
5
9
4 2 2 2 2 2
24 72 9 22 7 1
58 41 17 1 1 1 1
g r r P r P r
r r P r P P r r
= − + + − − −
− − − − + − + −
(20)
( ) ( )
( )
()
4 2 4 2 3 2
6
11
2 2 2
120 600 225 444 396 52 1
328 118 1 1 1
g r r P r P P r
r P rP P r
= − + + + + − −
− − + − +
(21)
Con esta metodología y con el uso adecuado de algún programa de manipulación simbólica se
pueden evaluar tantos términos como uno desee en la serie. De las expresiones dadas para
i
g
se
sigue entonces que la energía E
de una partícula en un potencial de pozo cuadrado finito
unidimensional como función del número cuántico principal y de la profundidad del pozo está dada
por (en unidades de
22
mL
)
( )
2 2 2 3
0 0 1 1 0 2 0 3 1 2
2 4 5
0 4 2 1 3 0 5 2 3 1 4
26
1 5 3 2 4 0 6
2
2 4 2 2
3
1 1 2 1 1 1
6 2 3 30 3 6
1 1 1 1
30 18 12 180
E g g g g g g g g g g
g g g g g g g g g g g
g g g g g g g
= + + + + + +
+ + + + + +
+ + + +
(22)
con
0
g rP=
y
definida en la ecuación (13).
3. Resultados
En lo que sigue se harán algunas consideraciones especiales sobre la ecuación (22) con el
objeto de encontrar una aproximación general y dos aproximaciones particulares para el problema
Novasinergia 2021, 4(2), 38-47 43
de la partícula en una caja unidimensional. Es de hacer notar que estas consideraciones se centraron
en la razón de alturas del pozo. Para el caso de las aproximaciones particulares se observó que
tomando una razón de alturas adecuada las soluciones obtenidas dan expresiones sencillas para
evaluar el espectro de energía de manera muy exacta.
3.1. Aproximación general
Una muy buena aproximación puede obtenerse expandiendo hasta el tercer orden en r la
expresión dada en la ecuación (13), e igualando a cero, con lo que se resulta, después de algunos
rearreglos
36(1 ) 3 0r P r n
+ + − =
(23)
Este polinomio tiene sólo una raíz positiva
(24)
Dado este caso se observa que la razón de alturas depende de n y P, lo que hace a r un término
variable, ideal para evaluar cualquier altura del pozo dado un valor del número cuántico principal.
En la tabla 2, usando la ecuación (24) en la ecuación (22), se comparan las energías calculadas
variando P y n con los valores exactos de la ecuación (1). Los cálculos se han extendido hasta
potencias de tercer orden en y demuestran que esta aproximación general conduce a soluciones
numéricas cuya convergencia ocurre de manera rápida y muy exacta. Incluso usando el primero o
segundo término en la serie de potencias en es suficiente para evaluar confiablemente el espectro
de energía del pozo finito.
Tabla 2: Aproximación general. Niveles de energíaa calculados (en unidades de ℏ
) usando la ecuación (23) en la ecuación
(22). Comparación de resultados con las energías exactas de la ecuación (1).
P
n
E (exacta)
1er orden
2do orden
3er orden
P
n
E (exacta)
1er orden
2do orden
3er orden
1.00
1
1.092494
1.092433
1.092489
1.092494
6.00
1
3.616711
3.616711
3.616711
3.616711
(1.0733)
(1.0971)
(1.0930)
(3.5969)
(3.6167)
(3.6167)
4.50
1
3.286656
3.286656
3.286656
3.286656
2
14.351758
14.351755
14.351758
14.351758
(3.2594)
(3.2867)
(3.2867)
(14.2827)
(14.3520)
(14.3518)
2
12.917873
12.917841
12.917873
12.917873
3
31.773621
31.773409
31.773621
31.773621
(12.8347)
(12.9179)
(12.9179)
(31.6624)
(31.7755)
(31.7737)
3
27.882089
27.880960
27.882014
27.882090
4
54.621390
54.620384
54.621089
54.621401
(27.8189)
(27.8912)
(27.8831)
(54.5710)
(54.6323)
(54.6226)
a Los valores entre paréntesis corresponden a la aproximación de la referencia (Sprung, Wu & Martorell, 1992).
3.2. Aproximaciones particulares.
Para este caso introduzcamos como condición que r sea un valor fijo. Dada esta situación
podemos examinar dos importantes regiones; el fondo y la mitad del pozo.
Novasinergia 2021, 4(2), 38-47 44
Fondo del pozo.
Esta región está descrita por
0r=
y corresponde a un pozo de profundidad muy grande.
Evaluando r en las ecuaciones (16-21) y ecuación (13), y sustituyendo en la ecuación (22), resulta,
hasta potencias de octavo orden en
, con
2n
=
, y en unidades de
22
mL
,
22 4 6
2 3 6
28
9
2 1 27 8
( 1) 3( 1) 180( 1)
225 117 8
2520( 1)
nPP
EP P P
PP
P
−
= − −
+ + +
−+
−−
+
(25)
Para un pozo de profundidad infinita (
P→
) esta serie se reduce
22 2
2
2
n
P
lim E n
mL
→ =
(26)
El factor
( )
2
2/1PP+
observado en la ecuación (25) distingue los estados ligados más bajos de un pozo
finito de aquellos estados correspondiente a un pozo infinito y aparece como un factor de corrección
de orden principal en la solución de otros autores (Sprung, Wu & Martorell, 1992; Paul & Nkemzi,
2000).
Mitad del pozo
Esta región está descrita por
1/2r=
. Haciendo uso de las ecuaciones pertinentes al caso,
resulta de la ecuación (22), hasta potencias de cuarto orden en
, (en unidades de
22
mL
)
(27)
En la tabla 3 y tabla 4, usando las ecuaciones (25) y (27), respectivamente, se comparan las energías
calculadas para distintos valores de P y n con las energías exactas de la ecuación (1). En ambos casos
se observa que para valores fuera de la región para la que se ha hecho la aproximación la solución
tiende a fallar.
Tabla 3: Fondo del pozo,
=0r
. Niveles de energíab calculados con la ecuación (25). Comparación de resultados con las
energías exactas de la ecuación (1).
P
Energía exacta
Segundo orden
Cuarto orden
Sexto orden
Octavo orden
1.00
1.0925
1.2337
1.1069
1.0945
1.0928
2.50
2.4665
2.5178
2.4695
2.4667
2.4665
9.0342
10.0710
9.2983
9.1219
9.0672
4.50
3.2867
3.3035
3.2871
3.2867
3.2867
12.9179
13.2139
12.9526
12.9232
12.9188
27.8821
29.7312
28.4084
28.0744
27.9611
6.00
3.6167
3.6256
3.6169
3.6167
3.6167
14.3518
14.5023
14.3632
14.3529
14.3519
31.7736
32.6301
31.9259
31.8089
31.7829
54.6214
58.0091
55.7835
55.1261
54.8661
b Todos los números están dados en unidades de ℏ
.
Novasinergia 2021, 4(2), 38-47 45
Tabla 4: Mitad del pozo,
12r=
. Niveles de energíac calculados con la ecuación (27). Comparación de resultados con las
energías exactas de la ecuación (1).
P
Energía exacta
Primer orden
Segundo orden
Tercer orden
Cuarto orden
1.00
1.0925
1.0079
1.1139
1.0964
1.0930
2.50
2.4665
2.4314
2.4658
2.4665
2.4665
9.0342
7.8039
9.3708
9.1552
9.0764
4.50
3.2867
1.5103
3.2180
3.3028
3.2833
12.9179
12.7606
12.9205
12.9181
12.9179
27.8821
24.0110
28.4479
28.0927
27.9612
6.00
3.6167
-1.6517
3.4235
3.6776
3.6225
14.3518
14.1558
14.3500
14.3519
14.3518
31.7736
29.9632
31.8440
31.7867
31.7760
54.6214
45.7706
55.9055
55.1886
54.8792
c Todos los números en unidades de ℏ
.
4. Discusión
Se ha obtenido una solución general en serie de potencias para el problema de una partícula
en un pozo de potencial cuadrado finito unidimesional basada en la fórmula de inversión de
Lagrange, alrededor de un punto general, y en las fórmulas de Apostol (2000) para derivadas de
orden superior de una función inversa en términos de la función original. A partir de la solución
general, ecuación (22), se han examinado algunas aproximaciones al espectro de energía. En la
aproximación general los resultados demuestran que la razón de alturas de la ecuación (24) usada
en la ecuación (22), en potencias de primero o segundo orden en , favorece ampliamente la
convergencia de los resultados. Esta razón de alturas se ajusta mejor que la propuesta dada en
Sprung, Wu & Martorell (1992). Para los casos particulares de r = 0 (fondo del pozo) y r = 1/2 (mitad
del pozo) se han hallado soluciones en serie de potencias hasta sexto y octavo orden en ,
respectivamente. En el caso de r = 0 la serie se simplifica considerablemente. Estas ecuaciones
particulares alrededor de un r fijo son útiles para estudiar el espectro de energía en aquellas regiones
del pozo para la cuales fueron derivadas las fórmulas.
Por otra parte, considerando valores especiales para
/P
se han encontrado soluciones cerradas a
la ecuación de cuantización de la partícula en el pozo finito. Estos resultados pueden ser útiles en
procedimientos de interpolación cuyo fin sea el cálculo de las energías de una partícula bajo la
influencia de un dado potencial seleccionado aleatoriamente.
5. Conclusiones
La aproximación matemática usada en este trabajo es muy general e incorpora métodos
matemáticos elementales, tales como; series de Taylor, funciones inversas y derivadas de orden
superior. Su aplicación puede extenderse a otros problemas de la mecánica cuántica de partículas
confinadas por barreras finitas en sistemas de dos o incluso de tres dimensiones. Es claro que el
problema de una partícula en un pozo de potencial finito tridimensional es mucho más complejo
debido a la aparición de un término extra en el hamiltoniano (momento angular), sin embargo, atacar
este problema con esta metodología podría ser, como se ha demostrado, una alternativa viable.
Novasinergia 2021, 4(2), 38-47 46
Contribución de los autores (rellenar el cuadro con color según la contribución
realizada)
En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación de
créditos a autores de artículos científicos (https://casrai.org/credit/). Los autores declaran sus
contribuciones en la siguiente matriz:
Fernández-Rojas, C.
Fernández-Rojas, F.
Conceptualización
Análisis Formal
Investigación
Metodología
Recursos
Validación
Redacción – revisión y edición
Conflicto de Interés
Los autores declaran que no existe conflicto de interés de naturaleza alguna con presente
investigación.
Referencias
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