Novasinergia 2021, 4(2), 62-77. https://doi.org/10.37135/ns.01.08.04 http://novasinergia.unach.edu.ec
Artículo de Investigación
Modelos predictivos de los contagios de la COVID-19 para la provincia de
Loja – Ecuador
Predictive models of COVID-19 infections for the province of Loja - Ecuador
Franco Salcedo 1*, Galo Salcedo 2
1 Universidad Técnica Particular de Loja, Loja, Ecuador, 110150
2 Universidad Nacional de Loja, Loja, Ecuador, 110150; galo.salcedo@unl.edu.ec
*Correspondencia: fhsalcedo@utpl.edu.ec
Citación: Salcedo, F. & Salcedo, G.,
(2021). Modelos predictivos de los
contagios de la COVID-19 para la
provincia de Loja – Ecuador.
Novasinergia. 4(2). 62-77.
https://doi.org/10.37135/ns.01.08.04
Recibido: 10 junio 2021
Aceptado: 17 agosto 2021
Publicación: 01 diciembre 2021
Novasinergia
ISSN: 2631-2654
Resumen: La provincia de Loja, como en todo el mundo, ha sido
afectada por la COVID-19, lo que puso a prueba la capacidad de los
sistemas de salud y a sus gobernantes. Ante este escenario, obtener
predicciones de los casos de contagios constituye un factor importante
para tomar decisiones. Para predecir el nivel de contagios se utilizaron,
el método numérico de las diferencias divididas, modelo logístico
simple, un modelo logístico mejorado en el que se incluye la proporción
de confinamiento y, el método de los mínimos cuadrados. Se utilizaron
datos proporcionados por el Ministerio de Salud Pública del Ecuador en
un período de 399 días desde la aparición de los primeros casos y su
procesamiento se realizó con el Software GNU Octave, versión: 5.1.0. Los
modelos logísticos son poco satisfactorios debido al desconocimiento de
algunos factores, como la tasa de contagios, recuperados, movilidad de
individuos contagiados y su interacción con los individuos no
contagiados, la proporción del nivel de confinamiento en cada
jurisdicción política. El método de los mínimos cuadrados ofrece mejores
resultados para las predicciones, ya que no emplea tasas ni proporciones
y minimiza el error cuadrático, es decir encuentra la curva que pasa entre
los puntos de los datos.
Palabras clave: COVID-19, mínimos cuadrados, modelo logístico,
modelo predictivo, pandemia.
Copyright: 2021 derechos
otorgados por los autores a
Novasinergia.
Este es un artículo de acceso abierto
distribuido bajo los términos y
condiciones de una licencia de
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es/by/4.0/).
Abstract: The province of Loja, like the rest of the world, has been affected by
COVID-19, which put the capacity of health systems and their leaders to the
test. Given this scenario, obtaining predictions of the cases of contagion is an
important factor in making decisions. To predict the level of infections, the
numerical method of divided differences, a simple logistic model, an improved
logistic model that includes the proportion of confinement, and the least squares
method were used. Data provided by the Ministry of Public Health of Ecuador
were used in a period of 399 days from the appearance of the first cases and their
processing was carried out with the GNU Octave Software, version: 5.1.0.
Logistic models are unsatisfactory due to insufficient information about some
factors, such as the rate of infections, recoveries, mobility of infected individuals
and their interaction with non-infected individuals, and the proportion of the
level of confinement in each political jurisdiction. The method least squares
offers better results for predictions, since it does not use rates or proportions and
minimizes the quadratic error, that is, it finds the curve that passes between the
data points.
Keywords: COVID-19, least squares, logistics model, pandemic, predictive
model.
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1. Introducción
La COVID-19, afecta a un ser humano cuando se infecta por el síndrome respiratorio
agudo severo (SARS-CoV-2) de la familia Coronaviridae, que afecta principalmente el tracto
respiratorio de los pacientes infectados y que debido a su agresividad y expansión alrededor
del mundo, fue declarado como pandemia según la Organización Mundial de la Salud
(OMS) (Jebril, 2020). El número de nuevos casos y muertes por COVID-19 en todo el mundo
se redujeron, a 5.5 millones de casos y más de 9000 muertes, pero a pesar de estos datos, la
tendencia de casos y muertes se mantiene en los niveles más altos desde el comienzo de la
pandemia; disminuyeron en las regiones de Europa y el Mediterráneo Oriental, mientras
que la Región de Asia Sudoriental se incrementó un 6% incluyendo las cuatro variantes de
SARS-CoV-2, B.1.1.7 (VOC202012 / 01); B.1.351 (501Y.V2); P.1; B.1.617, en relación al 11 de
mayo de 2021 (WHO, 2021). En América Latina y el Caribe se encuentra activa la circulación
de nuevas variantes de COVID-19 que aumentan los casos y las hospitalizaciones, mientras
continúan administrando las vacunas disponibles. Entre las variantes de la COVID-19, se
encuentra la P.1 de Brasil, que se cree que es de 2 a 2,5 veces más transmisible que el virus
que dio origen a la pandemia, cuyas cifras de fallecimientos en la región se encuentra sobre
los 958.300, que representa actualmente casi 3 de cada 10 muertes por COVID-19 reportadas
en todo el mundo, según la Oficina de Coordinación de Asuntos Humanitarios (OCHA,
2021). La pandemia ha acentuado las desigualdades sociales como consecuencia de la
disminución del ingreso, ha descubierto un sistema de salud fallido y desatendido,
principalmente en los países en vías de desarrollo, como es el caso de Ecuador, en el que el
virus fue introducido por migrantes ecuatorianos que llegaron desde España e Italia,
agobiados por el contagio del COVID-19 (León & Vaca, 2021).
De acuerdo a la infografía No. 452 que ofrece información de la situación nacional por
COVID-19, emitido por el Servicio Nacional de Gestión de Riesgos y Emergencias con corte
al 24 de mayo de 2021, el Ecuador registra 419.198 casos confirmados con pruebas PCR,
366.425 pacientes recuperados, 20.210 fallecidos, de estos datos, las provincias con más casos
siguen siendo Pichincha, Guayas y Manabí; el grupo etario que muestra un mayor número
de contagios están las personas de 20 a 49 años de edad que corresponde al 60.1%. La
provincia de Loja, registra 15.829 casos confirmados con pruebas PCR que representa el
3.8% de casos y 534 fallecidos (Servicio Nacional de Gestión de Riesgos y Emergencias,
2021). En las ciudades de mayor población, el crecimiento del nivel de contagios se relaciona
con eventos masivos, la densidad poblacional, patrones de dispersión y la lenta respuesta
del Ministerio de Salud (Fernández et al., 2021).
El presidente de la República, Lenin Moreno, a fin de mitigar la emergencia sanitaria
provocada por la COVID-19, el 17 de marzo de 2020 emitió el primer Decreto Ejecutivo No.
1017, en el que se declaraba el estado de excepción, toque de queda, restricción vehicular,
paralización de transporte interprovincial y los vuelos comerciales en el territorio nacional,
debido a la declaratoria de pandemia de COVID-19, por parte de la OMS (Registro Oficial
del Ecuador, 2020a). Mediante Decreto Ejecutivo No. 1052 publicado en Registro Oficial
Suplemento 209 el 22 de mayo de 2020, el presidente de la República, decreta la renovación
del estado de excepción por calamidad pública en todo el territorio nacional, por los casos
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 64
confirmados y número de fallecidos a causa de la COVID-19 en Ecuador (Registro Oficial
del Ecuador, 2020b). El gobierno nacional, acogiendo la recomendación del Comité de
Operaciones de Emergencia (COE), suscribió el Decreto Ejecutivo No. 1291, disponiendo el
Estado de Excepción por 28 días que rigió en las provincias de Azuay, Imbabura, Loja,
Manabí, Santo Domingo de los Tsáchilas, Guayas, Pichincha, Los Ríos, Esmeraldas, Santa
Elena, Tungurahua, Carchi, Cotopaxi, Zamora Chinchipe, El Oro y Sucumbíos desde las
20:00 h del viernes 23 de abril hasta las 23:59 h del jueves 20 de mayo, con la finalidad de
precautelar la salud y la vida de la población ante el embate de la COVID-19 y sus nuevas
variantes (Registro Oficial del Ecuador, 2021).
Para mitigar el impacto de la pandemia causada por la COVID-19, es vacunar las personas,
para ello, es importante mantener un conjunto de datos en tiempo real registrados por
autoridades sanitarias gubernamentales que permitan comprender el impacto potencial de
las vacunas sobre la pandemia, como: tasa transmisión, morbilidad, mortalidad y las
desigualdades de acceso a las vacunas en todos los países; los mismos que permitirán
comprender el efecto de la vacunación en la propagación del virus y a la vez instar a los
líderes mundiales tomar decisiones. En Ecuador, hasta el 24 de mayo de 2021 se han
aplicado al menos una dosis a 1509795 personas, que representa el 8.7% de la población; y,
las personas completamente vacunadas alcanzan 515361 personas, que representa el 3.0%
de la población (Mathieu et al., 2020).
Para predecir el comportamiento del avance de la pandemia, es necesario contar con
modelos matemáticos predictivos que permitan replicar modelos epidemiológicos en los
que se utilizan ecuaciones diferenciales, entre estos, se pude mencionar los modelos SIR
(Susceptibles-Infectados-Recuperados), SI (Susceptibles-Infectados), SIS (Susceptibles-
Infectados-Susceptibles) y sus variantes, en las que se consideran los individuos que se
pueden infectar, los susceptibles, los infectados y los recuperados. En los modelos
matemáticos básicos se consideran algunas variables que modifican los modelos
epidemiológicos, como la vacunación, restricciones, entre otras (Sanz, 2016).
A partir del primer informe proporcionado por la OMS, el 21 de enero de 2020, aplicando
un modelo de mapa iterativo tridimensional simple para pronosticar la propagación global
de la pandemia, se puede esperar que el virus infecte aproximadamente al 23% de la
población mundial, es decir, alrededor de 1.76 mil millones de personas, cobrando
aproximadamente 83 millones de vidas. Se predijo que el número global de casos nuevos
alcanzaría su pico el día 133 (a mediados del mes de mayo de 2020) con una estimación de
60 millones de nuevos casos por día. Las medidas de restricción parecen ser muy efectivas
para posponer el pico, en el número diario de nuevos casos, que ocurriría en ausencia de
cualquier intervención. Sin embargo, si se flexibilizan estas medidas, es probable que la
propagación de la infección vuelva a su patrón de crecimiento exponencial original (Botha
& Dednam, 2020).
Desde el primer caso confirmado en Daegu/Gyeongbuk (Korea), el 18 de febrero de 2020, se
identificó el patrón de transmisión de COVID-19 aplicando un modelo matemático para
predecir la transmisión y propagación del virus utilizando el método de los mínimos
cuadrados, estimando que el número de transmisiones por paciente infectado era
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 65
aproximadamente 10 veces mayor en el área de Daegu/Gyeongbuk que el promedio a nivel
nacional. El modelo predice que alrededor de 13.800 casos ocurrirían en todo el país y 11.400
casos en el área de Daegu/Gyeongbuk hasta mediados de junio de 2020 (Kim, Seo, & Jung,
2020).
Para predecir la evolución de la pandemia COVID-19 en varios países, se aplicó el modelo
de regresión basado en el ajuste de los mínimos cuadrados con datos hasta el 16 de abril de
2020 en el que alertaba sobre el alcance de un pico ya que las nuevas infecciones comenzaban
a disminuir en relación al día anterior. La tasa de crecimiento de la infección se adaptó a un
decaimiento exponencial, en contraste a un decaimiento lineal que explican los modelos
logísticos. El modelo logístico propuesto por Bhardwaj (2020) predice el número
aproximado de infecciones totales al final del brote y ha sido validado en China y Korea del
Sur en donde la pandemia ha disminuido. Sin embargo, en Italia, Alemania, España y
Suecia, el modelo indica que la pandemia ha alcanzado el pico de la infección entre los meses
de julio y agosto de 2020.
Un enfoque clave en las investigaciones para predecir el comportamiento de la infección
provocada por la COVID-19 es a través de modelos matemáticos. En la mayoría de estudios
orientados a lograr modelos fenomenológicos para describir con mayor precisión la
dinámica epidemiológica se han utilizado la distribución gamma para describir el período
de la infección por COVID-19, en otros se utilizó la distribución logarítmica normal, la
distribución de Erlang y la distribución de Weibull. En los diferentes estudios, el impacto
del seguimiento de contactos y el aislamiento social, la tasa de cuarentena, el uso de
mascarillas protectoras, entre otros, es fundamental para la prevención y el control de
epidemias. Las instituciones sanitarias y gubernamentales deben ser cautelosos al usar o
formular predicciones basados en modelos matemáticos (Xiang et al., 2021). Algunos
estudios de predicciones basados en modelos epidemiológicos son poco fiables debido a la
complejidad de las ecuaciones dinámicas y a los limitados parámetros de los modelos
dinámicos de población; sin embargo, la incidencia en el tiempo en relación a la infección
son uniformes y cóncavas por naturaleza, por lo que se debe incluir modelos
epidemiológicos constituidos por curvas simples de aceleración para comprender la
dinámica de la infección y predecir que se alcanzará el estado estable utilizando conceptos
básicos de geometría (Paul, Reja, Kundu, & Bhattacharya, 2021).
Estimando la evolución de la COVID-19 en la población peruana, se utilizó el modelo SIR
que permitió simular el comportamiento epidemiológico, teniendo como resultado que las
medidas de restricción gubernamentales disminuyeron la tasa de propagación en un 30%
de casos hasta el día pico de la infección; tales resultados sugieren que las acciones
gubernamentales deben ser más efectivas para reducir la propagación del virus (Espinola et
al., 2020). En el departamento de Boyacá, Colombia, se utilizaron datos relacionados con los
contagios durante los 108 primeros días de la pandemia, realizando un análisis descriptivo
de los casos reportados, recuperados y fallecidos en función del tiempo; el comportamiento
de los datos, evidencia que los casos reportados e infectados, obedecen a un ajuste
exponencial, no así para el caso de los fallecidos (Cruz, 2021).
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Para predecir el comportamiento de la propagación de la COVID-19 en Cuba, se han
estimado las predicciones para los picos de casos confirmados, con la técnica de los mínimos
cuadrados, utilizando datos de los 52 primeros días de la aparición de la infección, se
emplearon el coeficiente de determinación ajustado, el criterio de información de Akaike y
el error estándar de los residuos para medir la bondad de ajuste de los modelos, dando como
resultado que el pico ocurriría en el mes de abril del 2020 (Medina, Cortés, & Cortés, 2020).
Se han propuesto números modelos de predicciones sobre la epidemia COVID-19 en Wuhan
y otras partes de China, estas han mostrado una amplia gama de variaciones. Sin embargo,
estas responden a la dificultad para identificar las constantes de variabilidad de los casos
confirmados. Se demuestra que el modelo básico SIR, funciona mejor que el modelo SEIR
(Susceptibles-Expuestos-Infectados-Recuperados), utilizando el criterio de información de
Akaike (AIC) para seleccionar el modelo (Roda, Varughese, Han, & Li, 2020).
Se utilizó las diferencias divididas para encontrar la tasa de crecimiento de una población
de individuos, para realizar predicciones del avance de contagiados por la COVID-19 en los
primeros días de la pandemia en España. Las predicciones se encontraron aplicando el
modelo logístico lineal sencillo de Verhulst modificado, que consideró una tasa de
confinamiento aplicado por autoridades gubernamentales, obteniendo resultados con
predicciones con cierta exactitud en los primeros días, aunque no en los siguientes (Rebollo,
2020). La predicción de la pandemia se basa en la combinación de un modelo de crecimiento
o logístico de Verhulst y un modelo predictivo a corto plazo basado en el análisis de series
temporales; tal combinación de modelos, extrapolan o predicen el comportamiento de
contagios y pueden condicionar otras variables que actúan como modificadores de la
propagación del virus (Martínez, 2020). Empleando datos de la población con COVID-19, se
generan curvas de predicción, inflexión, saturación y tiempo de evolución de la pandemia
en Brasil, a través de simulaciones utilizando la ecuación logística, donde, la tasa de
reproducción es proporcional a la población y a la cantidad de recursos disponibles (de
Assis & de Carvalho, 2020). Es importante predecir la evolución de la epidemia para
planificar los recursos hospitalarios para mejorar sus capacidades de respuesta ante la
expansión del brote. Para la estimación se hace uso de las técnicas estadísticas de regresión
no lineal junto con los modelos de Gompertz y logística generalizada. Los resultados de la
predicción con los datos reales han demostrado una muy buena concordancia con los datos
oficiales, alcanzando un coeficiente de determinación del 0.99, que indica que los modelos
predictivos son adecuados para estimar la evolución de la COVID-19 (Cocconi & Roark,
2020). La estimación del crecimiento de los casos infectados por COVID-19 en la población
cubana, se realizó mediante modelos logísticos, exponenciales y el método de los mínimos
cuadrados para obtener parámetros lineales y no lineales, los mismos que alcanzaron
resultados satisfactorios para la evaluación de la pandemia (Medina et al., 2020).
El objetivo de esta investigación es obtener predicciones significativas del avance de los
casos de contagios por COVID-19 en la provincia de Loja y comprender la importancia de
aplicar restricciones para aplanar la curva del avance, aplicando modelos representados por
ecuaciones diferenciales y métodos numéricos con información proporcionada por el
Ministerio de Salud Pública desde el día 9 de abril de 2020 hasta el 20 de mayo de 2021.
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2. Metodología
La investigación, tiene un enfoque descriptivo e interpretativo, con información de
tipo cuantitativo, que busca predecir el nivel de contagios y la propagación de COVID-19
en la provincia de Loja, considerando datos recopilados entre el 9 de abril de 2020 hasta el
20 de mayo de 2021, proporcionados por el Ministerio de Salud Pública del Ecuador (MSP)
a través del sitio https://covid-19-loja-smartland.hub.arcgis.com/, en el cual registra los
casos diarios (Calvas, 2021).
Debido a la crisis de la pandemia, no se cuenta con datos reales sobre el número de
habitantes de la provincia de Loja, por ello, para el presente trabajo investigativo se toman
proyecciones para el año 2021 en base al cálculo de la tasa en base a proyecciones del
Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INEC) del año 2020, obteniéndose una
población de 512.154 habitantes (Robalino, 2021). La ciudad de Loja, se encuentra ubicada a
680 km de distancia con respecto a Quito con coordenadas 03º 39' 55" y 04º 30' 38" de latitud
Sur (9501249 N - 9594638 N); y, 79º 05' 58'' y 79º 05' 58'' de longitud Oeste (661421 E -711075
E), a una altitud de 2060 m.s.n.m., con un clima ecuatorial y temperatura promedio de 18
ºC; su población económicamente activa está dedicada principalmente a la agricultura y
ganadería (Municipio de Loja, s.f.).
Para el procesamiento de la información, gráficas y la solución de los modelos y métodos,
se utilizó rutinas generadas en el software GNU Octave Versión: 5.1.0, de licencia pública y
ejecutado en un sistema operativo Windows de 64 bits.
La tabla 1 presenta una revisión de los modelos, ecuaciones y soluciones empleados en la
presente investigación que son de carácter predictivo; sin embargo, existes modelos
estocásticos o probabilísticos que no se consideran.
Tabla 1: Fórmulas, ecuaciones y soluciones utilizados en el trabajo investigativo.
Ecuación
Modelo
Descripción
Detalle
(1)
󰇛󰇜 
󰇛󰇜󰇛󰇜
Derivada de una función
analítica f(x)
Definición de la derivada
󰆒󰇛󰇜󰇟󰇠
󰇛󰇜󰇛󰇜

Primera diferencia
dividida
Aproximación de la
derivada analítica con datos
discretos
(2)
󰇛󰇜
Modelo dinámico de
crecimiento poblacional
de Malthus
La constante de crecimiento
R y recursos ilimitados, que
se convierte en un modelo
irreal
󰇛󰇜 󰇛
󰇜
Modelo de crecimiento
poblacional de Verhulst
R depende del tamaño de la
población y de la capacidad
de carga K>0
(3)
󰇛󰇜 󰇛󰇜󰇛󰇛󰇜
󰇜
Ecuación diferencial, que
representa el modelo
logístico de Verhulst
Modelo con características
de crecimiento lineal, con
una condición inicial y(x0) =
y0
(4)
󰇛󰇜 
󰇛󰇜󰇛󰇜
Solución analítica del
modelo logístico de
Verhulst
Solución aplicando la
técnica de separación de
variables
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 68
Continuación tabla 1: Fórmulas, ecuaciones y soluciones utilizados en el trabajo investigativo.
Ecuación
Modelo
Descripción
Detalle
(5)
󰇛󰇜 󰇛󰇜󰇛󰇛󰇜󰇜
y(0) =
Modelo logístico de
Verhulst modificado
Modelo con variable de
interacción entre infectados
y no infectados
(6)
󰇛󰇜 󰇛󰇜󰇟󰇛󰇛󰇜󰇜
󰇛󰇜󰇠, y(0) =
Modelo logístico de
Verhulst modificado
Modelo con la variable de
confinamiento
(7)
󰇛󰇜 

Modelo logístico de
confinamiento
Cmáx, es la proporción de
confinamiento máxima; a, y
b constates
(8)
󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇛󰇜󰇜
Razón de crecimiento
Razón de crecimiento para
determinar la predicción de
contagios

󰇛󰇜


󰇛󰇜󰇛󰇜
Razón de crecimiento del
trabajo investigativo
Razón de crecimiento
empleando el criterio de las
diferencias divididas
(9)
 󰇛󰇜󰇛󰇜
 
Ecuación cuadrática, en
función de las diferencias
divididas
Ecuación utilizada para
predecir los contagios en
función de días anteriores
(10)
  󰇛󰇜
Solución numérica de
Euler/Runge Kutta
Criterio de la pendiente
(Ecuación Diferencial), con
tamaño de paso h
(11)
y = a0 + a1x + a2x2 +…… +
anxn + e
Criterio de los mínimos
cuadrados
Estrategia para alcanzar el
mejor ajuste
(12)

󰇛 󰇜

Suma de los cuadrados
de los residuos entre la y
medida y la y
aproximada
Procedimiento para genera
un polinomio de grado n,
para realizar la predicción
en el tiempo t
(13)

󰇛󰇜
Error estándar del
estimado
n = número de puntos
m = grado del polinomio a
encontrar.
Sr = suma de los cuadrados
de los residuos entre la y
medida y la y aproximada
(14)
󰇛󰇜

Suma total de los
cuadrados alrededor de
la media
Suma entre la y medida y la
y aproximada
(15)
Coeficiente de
determinación
Coeficiente de
determinación r2 y el
coeficiente de correlación r
El modelo logístico de Verhulst ecuación (5) y su solución ecuación (4) que ofrece una
solución exponencial, se utiliza para realizar el pronóstico del crecimiento de los casos de
contagios y se compara con los datos reales para analizar su comportamiento y
confiabilidad.
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 69
Un modelo logístico de Verhulst modificado ecuación (6), en el que se involucra las
proporciones de confinamiento, se aplica para realizar la predicción de casos de contagios,
tomando un valor de C(0) = 0.01 para el día 1 de confinamiento, y un valor de C(200) =0.0114
para el día 200 de confinamiento. Su solución de la ecuación (6), se lo obtiene con el método
numérico de Euler; y, se analiza el comportamiento de la proyección con los datos reales.
El método de los mínimos cuadrados permite generar un polinomio utilizando los datos
publicados por el MSP del día 1 al 399 que corresponde al 20 de mayo de 2021; y, con este
modelo se realiza la predicción de los casos de contagios, recuperados, fallecidos y contagios
activos hasta el día 430 de la pandemia (20 de junio de 2021). Los casos activos, se obtiene
de la relación en la ecuación (16):
casos activos = contagios – recuperados – fallecimientos. (16)
La predicción con el método de los mínimos cuadrados, se obtiene un polinomio de grado
5 para la proyección de los casos confirmados, un polinomio de grado 6 para los contagios
activos, porcentaje de incertidumbre que explica cada polinomio, el error estándar y la
desviación estándar para todas las proyecciones.
3. Resultados
Los casos de contagio en la provincia de Loja, fueron registrados desde el 9 de abril
de 2020 al que se considera el día 1 hasta el día 399 (20 de mayo de 2021). A partir del día
400 se realiza la predicción de casos no confirmados hasta el día 429 (19 de junio de 2021)
aplicando las diferencias divididas y se encuentra la diferencia entre los datos reales de
contagios y los proyectados desde el día 1 al 399. El resultado se presenta en la tabla 2.
Tabla 2: Predicción COVID-19, aplicando las diferencias divididas
Día
Fecha
Contagios
r
Predicción
Diferencia
1
9-Apr-20
49
2
10-Apr-20
56
2.39878E-07
56
0
3
12-Apr-20
65
2.65716E-07
64
1
4
13-Apr-20
69
1.11251E-07
75
-6
5
14-Apr-20
72
7.99618E-08
73
-1
….
….
….
….
….
….
398
19-May-21
14868
1.72701E-09
14895
-27
399
20-May-21
14868
1.72701E-09
14881
-13
400*
21-May-21
14881
1.72701E-09
14881
0
401
22-May-21
14894
1.72701E-09
14894
0
426
16-Jun-21
15223
1.72701E-09
15223
0
427
17-Jun-21
15237
1.72701E-09
15237
0
428
18-Jun-21
15250
1.72701E-09
15250
0
429
19-Jun-21
15263
1.72701E-09
15263
0
La tabla 2 expone la razón de crecimiento (r) utilizando la ecuación (14), y la predicción de
los casos confirmados utilizando ecuación (15) hasta el día 399. A partir del día 400 al 429 se
considera predicción de casos no confirmados.
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 70
La figura 1 describe la representación de los casos confirmados por día aplicando el criterio
de las diferencias divididas y se compara con los datos reales obtenidos hasta el día 399. La
curva del modelo de las diferencias divididas se extrapola a partir del día 400 hasta el día
429 que corresponde al 19 de junio de 2021. El modelo presenta considerable similitud con
los datos reales, que posteriormente fueron registrados por el Ministerio de Salud Pública,
lo que comprueba que el modelo empleado permite predecir los casos de contagios con
errores mínimos.
Figura 1: Modelo predictivo con las diferencias divididas. Casos confirmados hasta el día 399.
La figura 2 muestra la predicción de los casos de contagios utilizando el modelo logístico de
Verhulst ecuación (5) desde el día 1 hasta el día 399 y tomando la tasa promedio de
crecimiento de contagios r = 2.83098005448519E-08. El modelo ofrece una solución
exponencial que, comparada con los datos reales, únicamente en el día 1 y día 399 ofrece
una buena predicción. La explicación de su comportamiento, se debe a que en el modelo no
se consideran factores que perturben la curva como: la interacción entre infectados y no
infectados en diferentes jurisdicciones territoriales de la provincia de Loja, que las personas
no infectados evitan salir de sus domicilios para no contagiarse, que los datos
proporcionados por los organismos gubernamentales no son los verdaderos, entre otros.
Figura 2: Modelo predictivo con la ecuación logística de Verhulst, considerando las interacciones entre infectados y no
infectados, sin restricciones. Casos confirmados hasta el día 399 (20 de mayo 2021).
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 71
La figura 3 muestra la predicción de los casos de contagios aplicando el modelo logístico de
Verhulst, ecuación (6) y la variable de confinamiento, ecuación (7) desde el día 1 hasta el día
399. Se consideró la proporción de confinamiento C(0) = 0.01 para el día 1, y una proporción
de C(200) =0.0114 para el día 200 de confinamiento y considerando la tasa promedio de
crecimiento de contagios hasta el día 200, r = 5.10777787627697E-08. El modelo ofrece una
solución mejorada al modelo exponencial, que, al comparar con los datos reales, se observa
que la predicción mejora considerablemente en los días 1, 200 y 400 de la pandemia. Sin
embargo, el modelo no ofrece una buena predicción, que puede explicarse por el
desconocimiento real de las tasas de confinamiento y su aplicabilidad de acuerdo al criterio
de los gobiernos parroquiales y cantonales de la provincia.
Figura 3: Modelo predictivo con la ecuación logística de Verhulst, aplicando porcentajes de confinamiento en el día 1 y día
200. Casos confirmados hasta el día 399 (20 de mayo 2021).
La figura 4 muestra la predicción desde el 20 de mayo de 2021 al 20 de junio de 2021 (día
430) de los casos confirmados, recuperados, muertes y contagios activos aplicando el
modelo predictivo por los mínimos cuadrados. El modelo toma los datos reales desde el día
1 hasta el día 399 (20 de mayo de 2021) y genera un polinomio para cada predicción. Con
los polinomios se realizan extrapolaciones y con ello se consigue la predicción.
Figura 4: Modelo predictivo con el método de los mínimos cuadrados considerando los casos confirmados, recuperados,
muertes, y contagios activos, hasta el día 399 (20 de mayo 2021) con la predicción hasta el día 430 (20 de junio de 2021).
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 72
El comportamiento de la curva de contagios activos y recuperados generados con el método
de los mínimos cuadrados, muestra una tendencia a la baja e incremento respectivamente a
inicios del mes de mayo de 2021, situación que se justifica por el estado de excepción
decretado por el Presidente de la República desde el viernes 23 de abril hasta el 20 de mayo
de 2021 y por el inicio de la aplicación de las primeras vacunas contra la COVID-19, llegando
a una predicción de 1415 de contagios activos y 16392 recuperados para el día 430 (20 de
junio de 2021), como se observa en la figura 4 y resultados mostrados en la tabla 3.
Los resultados de las predicciones desde el día 20 de mayo de 2021 al 20 de junio de 2021,
se muestran en la tabla 3. Los contagios confirmados es la predicción que mejor explica la
incertidumbre con un 99.73%, que puede considerarse una predicción más realista,
comparada con los recuperados, muertes y contagios activos.
Tabla 3: Resultado de la predicción de casos COVID-19 con los mínimos cuadrados.
Predicción
al día 430
Error
estándar
Desviación
estándar
Incertidumbre
explicada (%)
Contagios
confirmados
16844
229.75
4378.9
99.73
Recuperados
16392
307.19
3835.6
99.36
Muertes
616
27.99
140.39
96.06
Contagios activos
1415
196.56
624.38
90.24
4. Discusión
En el presente trabajo investigativo se utilizan cuatro modelos matemáticos para
predecir los casos de contagios en la provincia de Loja asociados a la COVID-19. Se emplean
datos de 400 días desde el 9 de abril de 2020 hasta el día 20 de mayo de 2021 publicados por
el MSP. A partir del día 400 se hace la predicción hasta el día 430 que corresponde al 20 de
junio de 2021, empleando las diferencias divididas, modelo logístico, modelo logístico
modificado con confinamiento y el método de los mínimos cuadrados, que pusieron de
manifiesto su ineficacia o eficacia en la predicción de casos de contagios.
El método de los mínimos cuadrados ofrece predicciones satisfactorias comparadas con los
datos reales, ya que el modelo genera polinomios de predicciones que hacen al método
efectivo en la extrapolación de contagios confirmados, recuperados, muertes y contagios
activos. Este resultado se atribuye a que el modelo reduce al máximo el error cuadrático
entre el valor real y valor aproximado. Resultados similares se obtuvieron en Kim et al.
(2020), en el que el modelo predijo alrededor de 13.800 casos que ocurrirían en todo el país
y 11.400 casos en el área de Daegu/Gyeongbuk hasta mediados de junio de 2020. Así también
en el estudio realizado por Bhardwaj (2020) se predijo que, en Italia, Alemania, España y
Suecia, la pandemia ha alcanzado el pico de la infección entre los meses de julio y agosto de
2020. En otro estudio realizado en Cuba, con el mismo modelo, utilizando datos de los 52
primeros días de la aparición de la infección, obtuvo como resultado que el pico ocurriría
en el mes de abril del 2020 (Medina et al., 2020a).
El criterio de las diferencias divididas explica mucha similitud con los datos reales, lo que
permite predecir los casos de contagios con diferencias mínimas. Esto se explica por la
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 73
bondad de ajuste que ofrece la derivada numérica obtenida en forma tabular, frente a la
derivada analítica. Tal como ocurre en la predicción hecha por Rebollo (2020) en los
primeros días de la pandemia en España, quién empleó las diferencias divididas para
encontrar la constante de crecimiento y aplicarlo al modelo lineal sencillo de Verhulst,
obteniendo resultados con predicciones con cierta exactitud en los primeros días, aunque
no en los siguientes. Sin embargo, al aplicar el modelo logístico de Verhulst en el presente
estudio, se encontró una solución exponencial que no ofrece una buena predicción, debido
a que el modelo excluye variables como la interacción entre infectados y no infectados,
variables de confinamiento, vacunación y datos irreales proporcionados por los organismos
gubernamentales. Por ello, para perfeccionar la predicción con el modelo logístico de
Verhulst, se incluyó la variable de confinamiento, obteniendo un mejor resultado, aunque
no ofrece una buena predicción, ya que se desconoce la tasa de confinamiento real.
Entre los modelos utilizados para realizar predicciones de acuerdo con los resultados, es
importante destacar el método de los mínimos cuadrados, que ofrece predicciones
satisfactorias comparadas con los datos reales, debido a la exclusión de variables que
utilizan los modelos dinámicos y a la generación de ecuaciones polinómicas empleadas para
las predicciones. Es así, que la predicción para el día 430 (20 de junio de 2021) tiene una
tendencia a la baja, reduciéndose a 1415 casos de contagios activos y un incremento de casos
recuperados que asciende a 16392, situación que se explica por el estado de excepción
decretado por el Presidente de la República desde el viernes 23 de abril hasta el 20 de mayo
de 2021 y por el inicio de la aplicación de las primeras vacunas contra la COVID-19; esto
explica un nivel de incertidumbre de 99.73% para los contagios confirmados, 99.36% para
los casos recuperados, 96.06% para los casos de muertes y 90.24% para los contagios activos.
Estos resultados son de mucha importancia para los organismos de control en la toma de
decisiones, y puede adaptarse no solo para predecir y tratar pandemias en el sector salud,
sino para realizar predicciones en ámbitos económicos, administrativos, ambientales, etc.
Para futuras investigaciones en el que se emplee modelos dinámicos, es necesario identificar
todas las variables que intervienen en la representación del fenómeno, así al generar
predicciones, éstas serán más consistentes y reales.
5. Conclusiones
Luego de aplicar los cuatro modelos para predecir los contagios en la provincia de
Loja, se concluye que el método de los mínimos cuadrados ofrece los mejores resultados
para realizar las predicciones de contagios, ya que genera polinomios predictores, minimiza
el error cuadrático y explica un nivel de incertidumbre de 99.73% para los contagios
confirmados, 99.36% para los casos recuperados, 96.06% para los casos de muertes y 90.24%
para los contagios activos. Con este modelo, se evidencia una reducción de contagios activos
y se eleva el número de pacientes recuperados desde los primeros días de mayo hasta el día
430 que corresponde al 20 de junio de 2021, debido al estado de excepción decretado por el
Presidente de la República y por el inicio de la aplicación de las primeras vacunas contra la
COVID-19.
Novasinergia 2021, 4(2), 62-77 74
El modelo de las diferencias divididas genera errores mínimos comparados con los datos
reales, lo que garantiza que puede considerarse un buen estimador para predecir los casos
de contagios. Los resultados generados por la diferencia numérica, se utiliza por lo general
para encontrar aproximaciones de constantes, como la tasa de crecimiento.
Los modelos logísticos de Verhulst simple como el modificado con la variable de
confinamiento, no ofrecen buenas estimaciones de predicción en este estudio, debido a que
no se conoce con exactitud las tasas de contagios y los porcentajes de confinamiento; incluir
la proporción de confinamiento al modelo logístico modificado como medida de restricción,
genera una perturbación a la curva de contagios, obteniéndose mejores resultados, pero que
es deficiente por la falta de inclusión de otras variables, como la tasa de vacunación, entre
otras.
Para trabajos futuros, se debe identificar e incorporar a los modelos logísticos, variables que
optimicen el modelo, como la proporción de vacunación, eficacia de las vacunas, tasa de
propagación, nuevas variantes de la COVID-19, entre otras, lo que seguramente permitirá
mejorar las predicciones de los contagios.
Contribuciones de los autores
En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación
de créditos a autores de artículos científicos (https://casrai.org/credit/). Los autores declaran
sus contribuciones en la siguiente matriz:
Salcedo, F.
Salcedo, G.
Conceptualización
Análisis formal
Investigación
Metodología
Recursos
Validación
Redacción - revisión y
edición
Conflicto de Interés
Los autores declaran que no existen conflictos de interés de naturaleza alguna con la
presente investigación.
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