Novasinergia 2021, 4(2), 48-61. https://doi.org/10.37135/ns.01.08.03 http://novasinergia.unach.edu.ec
Artículo de Investigación
Atractores en funciones lineales crecientes por parte en la recta real
Attractors in piecewise increassing linear maps in the real line
Anibal Iñiguez 1, Bladismir Ruiz Leal 2*
1 Instituto de Postgrado, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador; 130105; tnlganibal@gmail.com
2 Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador; 130105;
*Correspondencia: luis.ruiz@utm.edu.ec
Citación: Iñiguez, A., & Ruiz, B.,
(2021). Atractores en Funciones
Lineales Crecientes por Parte en la
Recta Real. Novasinergia. 4(2). 48-61.
https://doi.org/10.37135/ns.01.08.03
Recibido: 31 agosto 2021
Aceptado: 29 octubre 2021
Publicado: 01 diciembre 2021
Novasinergia
ISSN: 2631-2654
Resumen: Las funciones lineales por parte (o a trozos) aparecen como
modelos matemáticos para describir sistemas provenientes de la
ingeniería eléctrica, ciencias físicas y economía, recientemente también
aparece en modelos de la actividad neuronal. Se considera una familia
a 4 parámetros de funciones lineales crecientes por parte sobre la recta
real usando la teoría de funciones continua crecientes por parte sobre
intervalos compactos para estudiar la existencia de conjuntos
atractores y describir la dinámica del atractor, verificando la existencia
de órbitas periódicas, transitividad y la existencia de medidas
ergódicas invariantes. Se demuestra específicamente los diferentes
valores del parámetro donde la familia exhibe un intervalo atractor. Se
prueba las condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto
atractor sea globalmente atractor, de hecho, en este caso se prueba que
la dinámica de dicho atractor se comporta como la dinámica de la
rotación de Poincaré del círculo unitario. También, se describe bajo qué
condiciones en los parámetros la familia exhibe un atractor topológico.
Finalmente se prueba la existencia de medidas invariantes ergódicas
absolutamente continua a la medida de Lebesgue asociado a la familia
restricta al atractor, inclusive se prueba el caso equivalente a la medida
de Lebesgue.
Palabras clave: Atractor topológico, Atractor global, Funciones lineales
por parte, Transitividad, medidas invariantes ergódicas
Copyright: 2021 derechos
otorgados por los autores a
Novasinergia.
Este es un artículo de acceso abierto
distribuido bajo los términos y
condiciones de una licencia de
Creative Commons Attribution
(CC BY NC).
(http://creativecommons.org/licens
es/by/4.0/).
Abstract: Piecewise linear maps appear in mathematical models to describe
systems from electrical engineering, physical sciences and economics recently
also appears in models of neural activity. It is considered a family with 4
parameters of piecewise increasing linear maps on the real line using the
theory of piecewise continuous increasing transformations on the compact
intervals to study the existence of an attractor set and describe the dynamics of
the attractor, verifying the existence of periodic orbits, transitivity and the
existence of ergodic invariant measures. The different values of the parameter
where the family exhibits an attractor interval are specifically demonstrated.
The necessary and sufficient conditions are tested for the attractor set to be
globally attractor. in fact, in this case it is proved that the dynamics of said
attractor behaves like the dynamics of the Poincaré rotation on the unit circle.
Also, it is described under what conditions in the parameters the family exhibits
a topological attractor. Finally, the existence of absolutely continuous ergodic
invariant measures to the Lebesgue measure associated with the family
restricted to the attractor is proven, the case in which the measure is equivalent
to the Lebesgue measure is even tested.
Keywords: Topological attractor, Global Attractor, Piecewise linear maps,
Transitivity, invariant ergodic measure.
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1. Introducción
Uno de los primeros estudios de la dinámica de transformaciones lineales por partes (o a
trozos) comenzó con (Rényi, 1957) mostrando que la siguiente aplicación (ecuación 1)
preserva una única medida ergódica equivalente a la medida de Lebesgue para .
(1)
Más tarde Parry en su trabajo (W. Parry, 1964) generaliza la transformación de Rényi
considerando , mostrando también que preserva una única medida
ergódica equivalente a la de Lebesgue para . Posteriormente Wilkinson en (Wilkinson,
1974) generaliza el trabajo de Parry. A partir de este trabajo se generalizó para funciones
crecientes por parte en un intervalo compacto, ver (Boyarsky & Góra, 1997). Es bien
conocido que la dinámica de una trasformación sobre un espacio de fase no acotado o no
compacto se comporta diferente al caso acotado. Una pregunta natural es: Como es la
dinámica de una transformación lineal por partes sobre ? En respuesta a esta pregunta, en
(NUSSE & YORKE, 1995) y con mayor detalle en (Jain & Banerjee, 2003) estudió la
transformación lineal por partes definida en la ecuación 2 como un caso
unidimensional, para determinar la existencia de bifurcación de colisión de frontera esto es,
una bifurcación que ocurre cuando un punto fijo (o una órbita periódica), a medida que se
mueve el parámetro, cruza o colisiona con la frontera entre las dos regiones de
comportamiento suave.
(2)
Estos dos trabajos dieron inicio al estudio de esta familia a 4 parámetros. El caso de los
parámetros la dinámica es simple y puede aparecer hasta dos puntos fijos
atractor o repulsor. También se puede ver el itinerario de las órbitas cuando va de la
componente conexa positiva a la componente conexa negativa de ver (Rajpathak et
al., 2012). El caso y es estudiado por (Rajpathak et al., 2015) probando que
existe una órbita caótica y describen el comportamiento de las órbitas periódicas estables,
en ese mismo trabajo se menciona la existencia de una región atractora pero no indica
exactamente sus dimensiones. En (Avrutin et al., 2014) analizan y estudian numéricamente
las bifurcaciones del atractor para diferentes valores del parámetro de . En (Avrutin et
al., 2006) realizan un estudio de otro tipo de bifurcaciones (bifurcaciones de codimensión 2
y codimensión 3) que aparecen en la transformación con . Recientemente en (Du
et al., 2018) estudia numéricamente el atractor también. En todos estos trabajos mencionados
anteriormente ninguno identifica exactamente el conjunto atractor. Tampoco se identifica
con las regiones en el espacio de parámetros donde exhibe un conjunto atractor no
trivial, es decir que no sea un punto fijo, una órbita periódica o una unión finita de órbitas
periódicas. Hasta el momento no hay un estudio sobre las medidas ergódicas que pueden
estar soportadas sobre el atractor. En este trabajo se da respuesta positiva a todas estas
interrogantes.
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En este trabajo se considera los parámetros . Se prueba
exactamente para que valores del parámetro el conjunto es atractor. También se
identifica los valores del parámetro donde el atractor es caótico (la dinámica de
restricto a , denotada por , posee una órbita densa en ). Inclusive se prueba que si
con la dinámica del atractor se comporta exactamente
como la rotación de Poincaré del círculo unitario, en este caso se prueba que si
es racional
e irreducible entonces, todos los puntos de son periódicos de periodo , y si
es
irracional entonces, la órbita de todos los puntos de es denso en . También, se muestra
los valores del parámetro donde el atractor es global, es decir, todas las órbitas de los puntos
de la recta real son atraídos por el conjunto . Además, se prueba los valores del
parámetro donde restricto a posee una medida invariante absolutamente continua
a la medida de Lebesgue y valores del parámetro donde restricto a admite una
medida equivalente a la medida de Lebesgue.
Es importante destacar que las funciones continua lineales por partes aparecen como
modelos matemáticos en muchos sistemas prácticos de ingeniería eléctrica (Banerjee &
Verghese, 2001). Además, también aparece como modelo para describir fenómenos en
Ciencias Física y Economía, según (Tramontana & Gardini, 2011). Recientemente (Belyaev
& Ryazanova, 2019) estudian el atractor que aparece en una familia de funciones lineales
por parte como un modelo de actividad neuronal.
El capítulo 3 de resultados, está organizado en dos secciones. En la sección 3.1 se estudia la
existencia del atractor y se identifica exactamente la región de los parámetros para los cuales
exhibe a como atractor. En la sección 3.2 se estudia la dinámica del
atractor primero el caso en que es biyectiva y luego el caso en que los parámetros
satisfacen la condición para analizar la existencia de medidas
invariantes.
2. Metodología
La metodología lógico-deductiva que forma parte ineludible de la investigación en
matemática fue usada para aplicar teoremas generales sobre transformaciones continuas
por partes definidas sobre un intervalo compacto al modelo estudiado de funciones lineales
crecientes por partes bajo la existencia del atractor .
Los objetivos fueron alcanzados de la siguiente forma: primero, identificar la forma
topológica del atractor e identificar exactamente los parámetros donde la transformación
para alcanzar esto se implementó la condición en los parámetros:
. Note que, si entonces, el candidato a atractor, el intervalo ,
satisface que y esto implica que no sea atractor.
El segundo objetivo es estudiar la dinámica del atractor según los parámetros de la familia
. El primer caso se concentra cuando ( restricto a ) es biyectiva en este caso usamos
la teoría existente sobre homeomorfismos del circulo unitario cuya conexión con la familia
a 4 parámetros en estudio se hace mediante una conjugación topológica, ya que la
conjugación topológica permite identificar dinámicas equivalentes. El segundo caso
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correspondiente a la existencia de medidas invariantes absolutamente continuas a la de
Lebesgue el objetivo es conseguido aplicando teoremas existentes sobre la transformación
del Lorenz unidimensional sobre un intervalo compacto.
3. Resultados
Considere la función definida por
,
donde . Para facilitar el lenguaje en este capítulo se considera
la siguiente notación: , , y . Para el estudio de
la dinámica de según los parámetros se necesita lo siguiente:
Condición 1. .
Esta condición es necesaria para probar la existencia del atractor .
3.1. Existencia del Atractor
Definición 3.1 Un conjunto es un atractor para si, y existe un conjunto
abierto con tal que cuando . Al conjunto de puntos
tal que cuando se denomina cuenca de atracción de y de
denota por . es un atractor global para si, es un atractor y . Aquí
para todo .
Debido que la función no es continua, la definición de atractor considerada aquí
difiere con la definición clásica, como por ejemplo la considerada en (Milnor, 1985). En este
caso el atractor no es cerrado.
Definición 3.2 Un conjunto es un atractor topológico para si, es un atractor y
es transitivo.
Lema 3.3 Si satisface la condición 1 entonces, .
Demostración. Observemos primero que, como y , la función es creciente en
cada componente conexa y . Sea entonces, existe tal que
. Como se tiene que . Si por definición de implica
que, . De esto y la condición (1) se tiene que, por tanto .
Si por definición de , esto junto a la condición (1) implica que
y esto significa que . Por tanto .
Note que si satisface la condición 1 y entonces, en este caso particular .
Por tanto , la clausura de , también, es atractor.
Observación 3.4 Suponga que satisface la condición 1.
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a) Si , entonces ;
b) Si , entonces .
Lema 3.5 Suponga que satisface la condición 1.
a) Si , entonces existe un punto fijo , con , tal que , ,
para todo . Ver figura 1.
b) Si , entonces existe un punto fijo , con , tal que ,
para todo . Ver figura 1.
Demostración. Caso a) Si , esto implica que tiene un punto fijo , que por la
condición 1, . Además, para todo, . Como no tiene puntos fijos en
, por tanto que , , para todo . El caso b) es análogo púes,
por el hecho que y la condición 1 existe un punto fijo con y para
todo .
Figura 1: Gráfica de para valores del parámetro y .
El siguiente resultado da una condición necesaria para identificar cuando es un
atractor, además, mostrará que la trayectoria de cada punto de la cuenca de atracción de
a partir de una determinada iterada queda contenido en .
Teorema 3.6 Suponga que satisface la condición 1. Si o , entonces
es un atractor. Además, .
Demostración. Por el lema 3.3, . Faltaría probar la segunda parte la definición de
conjunto atractor (ver definición 3.1). Suponga que . Se probará que si
entonces, tal que, para todo existe tal que Para ello, sea
. Por hipótesis no tiene puntos fijos y entonces, . Al
iterar varias veces sobre el punto , se sigue que existe tal que y
. Por tanto y así, . Si , como
implica que existe un punto fijo y para todo . Entonces,
iterando varias veces existe tal que y . Por tanto
, es decir, . Por tanto es un atractor. Ahora, si la prueba es
análogo al caso anterior. Si se muestra que para todo , existe tal que
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y si se muestra que existe un punto fijo tal que para todo
. Entonces, iterando varias veces existe tal que . Para terminar
la prueba sólo falta ver que . Claro está que . Si
y , se mostró que , por la observación 3.4, resulta
que , en este caso existe un punto fijo , con . Si , entonces por el Lema 3.5
, esto implica que . Si ya se demostró que
, de aquí y lema 3.5 se tiene que . Ahora, si
, el razonamiento es análogo. Por tanto, .
Condición 2. o . Ver figura 2.
De la demostración del Teorema 3.6 se puede extraer el siguiente resultado, que ya había
sido observado por (Jain & Banerjee, 2003).
Figura 2: Gráfica de para valor de los parámetros y .
Corolario 3.7 Suponga que satisface la condición 1.
a) Si , entonces, no posee un punto fijo y ;
b) Si , entonces no posee un punto fijo y ;
Corolario 3.8 Suponga que satisface la condición 1. El conjunto es atractor global para
sí, y solo si, . Ver figura 3.
Demostración. Suponga que es un atractor global, esto implica que no tiene puntos
fijos. Por tanto por lema 3.5, y . Si por observación 3.4, y esto es
una contradicción. Así, . Ahora, si por observación 3.4, esto es una
contradicción, luego .
suponga que , entonces satisface la condición 1 y 2. Por el teorema 3.6 y el
corolario 3.7 se sigue que es un atractor global.
Proposición 3.9 (Reciproco del Teorema 3.5) Suponga que satisface la condición 1. Si es
un atractor entonces, satisface la condición 2.
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Demostración. Suponga que no satisface la condición 2. Por tanto, y
. Si y entonces, y . Por el lema 3.5, ,
, para todo y , para todo . Esto implica que no
satisface la definición 3.1 de atractor. Esto es una contradicción. Si o
entonces, , lo que contradice el hecho que es atractor.
Figura 3: Gráfica de donde aparece el atractor global,
3.2. Dinámica y Medidas invariantes del Atractor
Si satisface la condición 1 y 2, el teorema 3.6 indica que el estudio de la dinámica de
se debe centrar en el estudio de la dinámica del atractor . En el caso en que se
toma como atractor. Parte del estudio de la dinámica de una transformación consiste en
describir el comportamiento asintótico de la órbita (el conjunto
) de cada , como por ejemplo, el conjunto omega-límite
de un punto .
En esta sección se mostrará los diferentes valores del parámetro donde la dinámica del
atractor de exhibe un comportamiento no trivial, es decir, es transitivo o admite una
medida absolutamente continua a la medida de Lebesgue. Primero comenzamos con la
descripción de la dinámica cuando es biyectiva e indicando los valores del parámetro
donde esto sucede.
Teorema 3.10 Suponga que satisface la condición 1 y que .
a) Si
es racional entonces, existe tal que , .
b) Si
es irracional entonces, (clausura de ) para todo , es decir,
es denso en .
Demostración. Considere el difeomorfismo definida por
cuya
inversa es . Considere la rotación de Poincaré, vista en el intervalo
unitario, definida por , , es decir,
.
Sea
y veamos que restricta a es topológicamente conjugada a , por
medio de la conjugación . Para ello, se debe probar que , para todo
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. Si entonces,
. Si entonces,
. Por otro lado, si se tiene que, , por tanto
.
Si entonces, y
.
Se ha demostrado efectivamente que es topológicamente conjugado a . Si
es
racional, implica que
es racional por la conjugación topológica se obtiene ítem a). Si
es irracional, se tiene que
es irracional por la conjugación topológica se obtiene ítem b).
Cuando una transformación es ergódica bajo alguna medida que ella preserva existe una
relación con su comportamiento dinámico. Antes de mostrar la existencia de medidas
invariantes es necesario que se comience con algunos conceptos de Teoría Ergódica,
necesarios para comprender los resultados obtenidos, para ello consideremos un
espacio de medida sobre los borelianos del espacio topológico .
Definición 3.11 Una función medible preserva una medida si
, para todo conjunto .
Definición 3.12 Una función medible que preserva una medida es ergódica si
para todo conjunto con se tiene que o .
Teorema 3.13 Suponga que satisface la condición 1, y .
1. Si
es irracional entonces, admite una medida invariante únicamente
ergódica equivalente a la medida de Lebesgue.
2. Si
es racional entonces, todos los puntos son periódicos del mismo
periodo para .
Demostración. Considere la función del intervalo unitario definida por:
Donde y . En el trabajo de (Coelho et al., 1995) se prueba que el número
de rotación de es
. Además, prueban que si es irracional
entonces, admite una medida invariante ergódica equivalente a la de Lebesgue. Para usar
este resultado se probará que es topológicamente conjugada a , por medio de un
difeomorfismo de clase definido por
donde,
,
y
. Note que, del hecho , el valor de así tomado
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satisface que . Para probar que para todo , primero
considere entonces,
. Por tanto
Por otro lado,
Al sustituir los valores de
y
se sigue que
Así, . Ahora, si entonces, 0
.
Por otro lado,
Al usar el hecho que y sustituir el valor de
se sigue que,
Esto muestra que para todo .
Ahora, se observa que
es irracional sí, y solo si,
es irracional. También note que,
y
. Por tanto, si
es irracional entonces
es irracional. Así, con los valores en los parámetros
y
preserva una medida ergódica equivalente a la medida de Lebesgue. Entonces,
por la conjugación que se encontró admite una medida ergódica equivalente a la medida
de Lebesgue.
Por otro lado, si
es racional entonces
es racional y en el
trabajo de (Coelho et al., 1995) prueban que existe tal que todo punto es
periódico de periodo para . Por la conjugación todos los punto de son periódicos
de periodo para .
Definición 3.14 Una función lineal creciente por partes en un intervalo es
uniformente expansora si existe tal que , para todos los puntos donde la
derivada está definida. es local eventualmente sobre si para cada intervalo o
existe tal que .
Teorema 3.15 Suponga que satisface la condición 1, si o entonces,
admite una única medida invariante ergódica equivalente a la medida de Lebesgue.
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Demostración. Caso 1. Suponga que y .
Note que por hipótesis . Entonces, satisface las hipótesis del Teorema 5.2.1
(Existencia de medidas invariantes) en (Boyarsky & Góra, 1997) por lo tanto, admite una
única medida invariante absolutamente continua a la de Lebesgue. Del hecho que y
, se sigue que, es uniformente expansora. Ya que se tiene que, es
local eventualmente sobre (o exacta) ver proposición 4 en (Eslami & Góra, 2011).
Caso 2. Suponga que y .
Considere el mismo homeomorfismos usado en el Teorema 3.10, definido
por
. Para
y se sigue que es topológica mente conjugado a la
aplicación lineal por partes
(Barrientos, 2015) prueba que es eventualmente expansora para , esto
implica que satisface las hipótesis del Teorema 5.2.1 dado en (Boyarsky & Góra, 1997)
por lo tanto, admite una única medida invariante absolutamente continua a la de
Lebesgue.
En ambos casos es local eventualmente sobre, esto implica que es transitiva ver
(Glendinning & Jeffrey, 2019 ). Si es transitiva y admite una única medida invariante
absolutamente continua a la de Lebesgue, es bien conocido que esta medida es equivalente
a la medida de Lebesgue y además ergódica, ver sección 4.3 de (Viana & Oliveira, 2016) y
(GÓRA, 2009).
Caso 3. Suponga que y .
Caso 4. Suponga que y .
Ambos casos son análogos a los casos 1 y 2 respectivamente.
Proposición 3.16 Suponga que satisface la condición 1 y 2, si entonces,
admite una única medida invariante absolutamente continua a la medida de Lebesgue.
Demostración.
Considere el homeomorfismos usado en el Teorema 3.10, definido por
. Esta función es una conjugación topológica entre y la aplicación lineal por
partes de tres parámetros
para
, y . Por lo tanto, para todo .
En el trabajo de (Ding et al., 2010) se prueba que si entonces, admite
una única medida invariante absolutamente continua a la medida de Lebesgue. Usando el
hecho que se tiene que
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Lo que muestra que la conjugada a con los parámetros dados anteriormente admite
una única medida invariante absolutamente continua a la de Lebesgue, por lo tanto, por la
conjugación admite una medida del mismo tipo.
4. Discusión
De la demostración del teorema 3.10 se ve que la dinámica del atractor global de
para es equivalente a la famosa dinámica de la rotación del círculo, esto es muy
interesante ya que por lo general este tipo de dinámica aparece en variedades diferenciables
sin frontera con dimensión mayor o igual a 2 y no en espacios unidimensionales como el
caso de la recta real.
El Teorema 3.10 muestra el comportamiento dinámico desde un punto de vista topológico
para el caso . En los resultados presentados en el trabajo no se muestra la medida
invariante para el atractor global en este caso. Justamente la medida de Lebesgue es la
medida invariante en este caso, la cual es la únicamente ergódica, es decir, es la única
medida invariante para y además es ergódica. La última afirmación se puede ver en
(Viana & Oliveira, 2016).
Si satisface la condición 1, note que del hecho que hace que y del hecho
que hace que . Si la función satisface una de esas dos condiciones, por la
proposición 3.16 admite una medida invariante ergódica equivalente a la medida de
Lebesgue. Conseguir medidas invariantes equivalentes a la medida de Lebesgue por lo
general no es fácil, inclusive en el caso uniformente expansor, como por ejemplo en nuestro
caso donde , , y (ver figura 3). De hecho, (William Parry,
1979) prueba que en el caso simétrico de con y , la medida absolutamente
continua a la medida de Lebesgue asociada a la dinámica del atractor (que existe por la
proposición 3.16) no es equivalente a la medida de Lebesgue sí, y solo si, .
5. Conclusiones
Al observar la existencia del atractor global de para los parámetros la
función no posee puntos fijos. Se puede concluir que para extender el resultado de la
existencia de atractor global para funciones no lineales una condición necesaria es que no
admita puntos fijos.
La condición 1 () es necesaria para que el conjunto sea
atractor de , pues si entonces, está propiamente contenido en . Por lo
tanto, dentro del conjunto hay un conjunto atractor, el cual no fue estudiado en este
trabajo.
Si satisface la condición 1, y , del lema 3.7 y el Teorema 3.6 se
concluye que, existen dos puntos fijos y tales que la bacía de atracción del
atractor es igual al intervalo . Note que, en este caso .
Del hecho que sea transitivo implica que el conjunto es un atractor topológico. Si no
es transitivo no significa que no existe atractor topológico para . De hecho, si satisface
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la condición 1 y 2, y ; se tiene que satisface las condiciones dadas para la
existencia de atractores topológicos probado en (Morales & Pujals, 1997) y ver (Choi, 2004)
para la estructura del conjunto de puntos periódicos del atractor topológico. De estos dos
trabajos aplicados a concluimos que:
Teorema 5.1. Suponga que satisface la condición 1 y 2, y . Si no es transitivo
entonces existe un conjunto compacto talque es un atractor topológico para y
además, el conjunto de puntos periódicos de es denso en .
Si a las hipótesis del proposición 3.16 se le agrega la condición 2 esto implica que es un
atractor topológico. Del ítem 3 del capítulo 5 de Discusión, se concluye: para con y
, el conjunto es atractor topológico sí, y solo si, .
Contribución de Autores
En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación
de créditos a autores de artículos científicos (https://casrai.org/credit/). Los autores declaran
sus contribuciones en la siguiente matriz:
Iñiguez, A.
Ruiz, B.
Conceptualización
Análisis Formal
Investigación
Metodología
Recursos
Validación
Redacción – revisión y edición
Conflicto de Interés
Los autores declaramos que no existen conflictos de interés de naturaleza alguna.
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