Novasinergia 2022, 5(2), 23-32. https://doi.org/10.37135/ns.01.10.02 http://novasinergia.unach.edu.ec
Artículo de Investigación
Teorema de punto fijo común para funciones ocasionalmente débilmente
compatibles satisfaciendo una condición contractiva con alteración de
distancia
Common fixed point theorem for occasionally weakly compatible maps satisfying a
contractive condition with altering distance
Orlin Rivas1* , Wilmer Barrera2
1Instituto de Posgrado, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador, 130105.
2Instituto de Ciencias Básicas, Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador,
130105; wilmer.barrera@utm.edu.ec
*Correspondencia: orly1868@hotmail.com
Citación: Rivas, O., & Barrera, W.,
(2022). Teorema de punto fijo
común para funciones
ocasionalmente débilmente
compatibles satisfaciendo una
condición contractiva con
alteración de distancia.
Novasinergia. 5(2). 23-32.
https://doi.org/10.37135/ns.01.10.02
Recibido: 21 abril 2022
Aceptado: 08 junio 2022
Publicación: 05 julio 2022
Novasinergia
ISSN: 2631-2654
Resumen: El propósito de este artículo es establecer condiciones que
garantizan existencia y unicidad de punto fijo en común para un par
de funciones definidas sobre un espacio métrico, satisfaciendo un tipo
de desigualdad contractiva que involucra funciones que alteran
distancia. Para lograr nuestro resultado, usamos algunas de las
nociones que generalizan la propiedad de conmutatividad de
funciones, como, por ejemplo, funciones ocasionalmente débilmente
compatibles. Finalizamos mostrando que, si son
funciones ocasionalmente débilmente compatibles con al menos un
punto de coincidencia, para las cuales se cumple la siguiente
desigualdad contractiva:
, siendo una función y
una función que altera distancia, entonces y tienen un único punto
fijo en común. Este resultado generaliza algunos teoremas de punto fijo
en común que no requieren ninguna condición de continuidad de las
funciones ni de la completitud del espacio métrico.
Palabras clave: Conmutatividad, función que altera distancia,
funciones ocasionalmente débilmente compatibles, propiedad E.A,
punto fijo en común.
Copyright: 2022 derechos
otorgados por los autores a
Novasinergia.
Este es un artículo de acceso abierto
distribuido bajo los términos y
condiciones de una licencia de
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(http://creativecommons.org/licens
es/by/4.0/).
Abstract: This paper aims to establish conditions that guarantee the existence
and uniqueness of a common fixed point for a pair of functions defined on a
metric space, satisfying a type of contractive inequality involving distance-
altering functions. We use some weaker forms of commuting maps to achieve
our results, concretely, occasionally weakly compatible maps. We prove that if
are occasionally weakly compatible maps with a
coincident point such that
where and is an altering
distance function, then and have a unique common fixed point. This result
generalizes some theorems of common fixed points where neither the
continuity of maps nor the completeness of the metric space is required.
Keywords: Common fixed point, commutativity, occasionally weakly
compatible map, altering distance function, E.A. property.
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1. Introducción
La teoría del punto fijo es una de las herramientas más importantes del análisis
matemático que ha sido crucial en el desarrollo de varias áreas de la matemática como
ecuaciones diferenciales, teoría de juegos, teoría de fractales, economía, teoría de
optimización, teoría de aproximación, ecuaciones integrales, entre otras. En el año 1922 se
inicia el estudio de la Teoría Métrica del Punto fijo con el resultado que se introduce en
Banach (1922). El Principio de Contracción de Banach ha sido generalizado considerando
nuevos tipos de condiciones contractivas y, en otros casos, debilitando las condiciones
sobre el espacio en el cual está definida la función. Es así como aparecieron varios
resultados en esta línea, como por ejemplo, los avances dados por Rakotch, Kannan,
Chatterjea, Ciric, como se estudia en Olatinwo & Ishola (2018); la introducción de las
funciones que alteran distancia por Khan, Swaleh, & Sessa (1984) y el uso de las
desigualdades contractivas de tipo integral por Branciari (2002).
En 1976 comienza a crecer el interés por la investigación sobre puntos fijos en común para
un par o familias de aplicaciones. Uno de los resultados importantes en esta línea es
presentado en Jungck (1976), donde proporciona condiciones sobre un par de funciones
definidas en un espacio métrico completo para garantizar existencia y unicidad de punto
fijo en común mediante el uso de la conmutatividad bajo ciertas condiciones contractivas.
El desarrollo de esta teoría tuvo auge cuando las investigaciones se enfocaron en el estudio
de nuevas condiciones contractivas y de conmutatividad.
Inicialmente, la propiedad de conmutatividad fue usada en Jungck (1976), dando respuesta
a un problema de punto fijo en común que se mantenía abierto para la época y
generalizando de esta forma el principio de contracción de Banach. Esta propiedad fue
ampliamente generalizada por varios autores con el fin de obtener nuevos resultados de
puntos fijos, con lo cual aparecieron las nociones de; funciones débilmente conmutativas,
ver Singh & Tomar (2003), funciones compatibles en Jungck (1986), funciones R-débilmente
conmutativas, ver Singh & Tomar (2003), funciones débilmente compatibles en Jungck &
Rhoades (1998) funciones ocasionalmente débilmente compatibles en AL-Thagafi &
Shahzad (2008), entre otras. Un estudio exhaustivo acerca de las relaciones sobre algunos
de estos conceptos fue publicado en Singh & Tomar (2003).
En lo que sigue, representará el conjunto de los números naturales (comenzando desde
1) y es el conjunto de todos los puntos donde y coinciden, esto es
. Si , llamaremos a punto coincidente de y , mientras
que es llamado punto de coincidencia de y .
Definición 1.1. Sean dos funciones. Un punto es llamado punto fijo en
común de y si .
Una versión de la noción de función de control ha sido llamada función que altera
distancia, la cual fue introducida en Khan, Swaleh, & Sessa (1984) y usada para probar un
teorema de punto fijo de una función, lo cual generalizo el principio de contracción de
Banach.
Definición 1.2. Una función , es llamada una función que altera
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distancia, si cumplen las siguientes condiciones:
1. es una función continua y no decreciente.
2. .
Se denota por al conjunto de todas las funciones que alteran distancia.
La siguiente definición fue dada en Jungck (1986).
Definición 1.3. Diremos que las funciones y son aplicaciones compatibles en un
espacio métrico si
, siempre que sea una
sucesión en tal que
, para algún .
En Morales & Rojas (2012), los autores usaron esta noción para establecer condiciones que
garantizan la existencia y unicidad de punto fijo en común para dos funciones sobre un
espacio métrico completo. Lo interesante de este resultado es que, entre las hipótesis, se
pide que las funciones satisfagan una desigualdad contractiva que involucra funciones que
alteran la distancia y así, el teorema constituye la primera aparición de este tipo de
funciones en la teoría de punto fijo en común. De esta forma se generalizó y se extendió el
teorema principal dado en Jungck (1976). Enunciamos a continuación el teorema dado por
Morales & Rojas (2012), el cual es importante en nuestra investigación.
Teorema 1.4. Sean un espacio métrico completo y dos funciones
satisfaciendo las siguientes condiciones:
(i) es una función continua,
(ii) ,
(iii) son funciones compatibles,
(iv) existe un número tal que
.
Entonces, y tienen un único punto fijo en común.
Una condición necesaria para la no compatibilidad fue dada en Aamri & El Moutawakil
(2002), llamada
Propiedad E. A.
Definición 1.5. Diremos que las funciones y definidas sobre un espacio métrico
son aplicaciones que satisfacen la propiedad E.A., si existe una sucesión en tal que
, para algún .
En 1998, se extendió la noción de compatibilidad mediante el concepto de funciones
débilmente compatibles, publicada en Jungck & Rhoades (1998).
Definición 1.7. Diremos que y son aplicaciones débilmente compatibles si
, para todo .
En AL-Thagafi & Shahzad (2008), los autores debilitaron la Definición 1.6 a través de la
siguiente noción.
Definición 1.8. Diremos que y son aplicaciones ocasionalmente débilmente
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compatibles si existe tal que .
El siguiente resultado fue probado en Kumar (2010), el cual generaliza el teorema del punto
fijo de Jungck sin requerimiento de continuidad en las funciones, debilitando las
contenciones entre los rangos y, además, no se pide completitud del espacio métrico.
Teorema 1.9. Sean un espacio métrico y dos funciones satisfaciendo las
siguientes condiciones:
(i) y cumplen la propiedad E. A.,
(ii) existe un número tal que
,
(iii) es un subespacio cerrado de ,
(iv) y son débilmente compatibles.
Entonces, y tienen un único punto fijo en común.
En este ámbito, el resultado anterior constituye uno de los primeros estudios de punto fijo
en común para funciones definidas en espacios métricos no necesariamente completos,
usando la desigualdad contractiva dada en Jungck (1976).
Proposición 1.10. Sea una función. Si es una sucesión en tal
que
, entonces
.
Recientemente en Barrera (2021), se prueba un teorema de punto fijo en común para dos
funciones compatibles definidas sobre un espacio métrico completo, satisfaciendo una
desigualdad contractiva que además de usar funciones que alteran distancia, reemplaza la
constante de contracción por una función. Este resultado establece lo siguiente.
Teorema 1.11. Sean un espacio métrico completo y dos funciones
satisfaciendo las siguientes condiciones:
(i)
(ii) es una función continua,
(iii)existe una función con
para todo y , tal
que ,
(iv) son funciones compatibles.
Entonces, y tienen un único punto fijo en común.
El objetivo de este trabajo es extender la teoría del punto fijo en común para funciones
definidas sobre un espacio métrico no necesariamente completo, usando desigualdades
contractivas que dependen de funciones que alteran la distancia entre puntos.
2. Metodología
Con el objetivo de obtener punto fijo en común para dos funciones siguiendo la línea
de investigación iniciada en Jungck (1976), considerando espacios métricos no completos,
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en la revisión bibliográfica se pudo constatar que en Kumar (2010) se da el primer paso
exitoso con un aporte bastante interesante. En cuanto al uso de las funciones que alteran la
distancia, en este ámbito no existen resultados que garanticen existencia y unicidad de
punto fijo en común. Lo más cercano a nuestro problema planteado, ha sido publicado en
Morales & Rojas (2012), quienes fueron los primeros autores en obtener condiciones que
garantizan punto fijo en común para un par de funciones definidas sobre un espacio métrico
completo, satisfaciendo una condición contractiva que involucra funciones que alteran
distancia.
Por otra parte, en Kumar (2010) los autores utilizaron la desigualdad contractiva dada en
Jungck (1976), junto con las nociones que extienden la conmutatividad, como lo es el caso
de la compatibilidad débil. Así mismo, la propiedad E. A., es requerida y permite eliminar
la completitud del espacio. Por lo tanto, con esas condiciones fue natural no requerir
contención entre los rangos, lo que significó un avance significativo respecto al resultado
principal de Jungck (1976).
Para obtener el resultado principal de este trabajo, se usó lo hecho en Kumar (2010) para
funciones débilmente compatibles en espacios métricos satisfaciendo la propiedad E. A.,
lo hecho en Morales & Rojas (2012), para desigualdades contractivas dependientes de una
función que altera la distancia y lo hecho en Barrera (2021), considerando una función
como parámetro contractivo en la desigualdad contractiva, de tal forma de adaptarlo a
nuestro caso mediante el uso de funciones ocasionalmente débilmente compatibles. En
otras palabras, combinamos las ideas del Teorema 1.4, Teorema 1.9 y del Teorema 1.11,
para alcanzar el objetivo de esta investigación.
3. Resultados y Discusión
En lo que sigue se enuncia y se demuestra el teorema mediante el cual se alcanzó el
objetivo de este trabajo de investigación. El resultado garantiza la existencia y unicidad de
punto fijo en común para dos funciones ocasionalmente débilmente compatibles,
satisfaciendo una condición contractiva que involucra funciones que alteran distancia, cuya
constante de contracción se ha reemplazado por una función. Como consecuencia, se
extendió el teorema 2 de Kumar (2010).
A continuación, presentamos el aporte principal de esta investigación a través del siguiente
teorema.
Teorema 3.1. Sean un espacio métrico, dos funciones y . Suponga
que,
(i) Existe una función tal que,
.
(ii) y son funciones ocasionalmente débilmente compatibles.
Entonces y tienen un único punto fijo en común.
Demostración. Dado que y son funciones ocasionalmente débilmente compatibles,
entonces existe tal que . Esto implica que
. Por lo tanto,
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Ahora bien, de (i), (1) y tomando en cuenta que , se tiene que,
Por las propiedades de las funciones y se obtiene a partir de (2) que,
,
por lo tanto ,
Así, es claro que
Luego, de (1) y (3) se sigue
es decir, es un punto fijo en común para y . En lo que sigue, se verifica que es
el único punto que satisface (4).
En efecto, supongamos que existe tal que . A partir de (i) se tiene que
Por lo tanto,
Así, obtenemos que , es decir, . Por lo tanto, es el único punto fijo
en común para y .
El siguiente resultado es consecuencia del Teorema 3.1 y constituye una generalización del
Teorema 2 de Kumar (2010).
Teorema 3.2. Sean un espacio métrico, dos funciones y . Suponga
que,
(i) es un subespacio cerrado de ,
(ii) existe una función con
para cada tal que,
(iii) y satisfacen la propiedad E.A.,
(iv) y son débilmente compatibles.
Entonces y tienen un único punto fijo en común.
Demostración: Dado que y satisfacen la propiedad E.A., entonces existe una sucesión
tal que
, para algún . Como es un
subespacio cerrado de , entonces , es decir, existe tal que,
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Ahora bien, probemos que . En efecto, de (ii) se sigue que,
Tomando límite superior cuando en ambos lados de (6), usando la continuidad de
y la Proposición 1.10, se tiene que
por lo tanto, ,
es decir, .
Esto implica que y así, . Ahora bien, dado que y son
débilmente compatibles, entonces , es decir, y son funciones
ocasionalmente débilmente compatibles. De esta forma se cumplen las condiciones del
Teorema 3.1, con lo cual se concluye que y tienen un único punto fijo en común, siendo
en este caso, .
Una de las consecuencias del resultado anterior es dada por el siguiente corolario, el cual es
precisamente el Teorema 2 probado en Kumar (2010).
Corolario 3.3. Sean un espacio métrico, dos funciones satisfaciendo las
siguientes condiciones:
(i) y cumplen la propiedad E.A.,
(ii) existe un número tal que
,
(iii) es un subespacio cerrado de ,
(iv) y son débilmente compatibles.
Entonces y tienen un único punto fijo en común.
Demostración: Esta es una consecuencia inmediata del Teorema 3.2, considerando
,
El siguiente ejemplo muestra la importancia del Teorema 3.1 con respecto al Corolario 3.3.
Ejemplo 3.4 Sea dotado con la métrica usual y consideremos las funciones,
definidas por
Sea definida como sigue,
y considere dada por la fórmula Es sencillo ver que
y así, y son funciones ocasionalmente débilmente compatibles.
Ahora, note que
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y si , entonces
Ya que , entonces para todo tenemos que y, por lo
tanto,
es decir,
Así, es claro que (7) es equivalente a,
Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del Teorema 3.1 con lo cual se concluye que y
tienen un único punto fijo en común,
Por otro lado, no es posible aplicar el Corolario 3.3 para demostrar que y tienen punto
fijo en común en , ya que,
es decir,
Por lo tanto, no se cumple la condición .
El Teorema 3.1 da condiciones mínimas requeridas para garantizar que un par de funciones
definidas sobre un espacio métrico tenga un único punto fijo en común. Con este resultado
se logró un aporte novedoso a la teoría métrica de punto fijo en común a través del Teorema
3.2 para funciones definidas sobre un espacio métrico no necesariamente completo,
satisfaciendo una desigualdad contractiva dependiente de una función que altera distancia
y considerando una función como parámetro contractivo.
4. Conclusiones
El interés por el estudio de la teoría del punto fijo para dos funciones radica entre
otros aspectos, en minimizar las condiciones (tanto de las funciones, como del espacio
donde se encuentran definidas), que garantizan existencia y unicidad de punto fijo en
común. En Kumar (2010), se observa que, una de las condiciones esenciales que deben
cumplir un par de funciones para garantizar punto fijo en común, es la verificación de algún
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tipo de desigualdad contractiva, las cuales, en la mayoría de los casos, tienen como
parámetro contractivo una constante. En este trabajo se hizo un aporte significativo a la
teoría métrica del punto fijo al usar una desigualdad contractiva dependiente de funciones
que alteran la distancia entre puntos y, cuyo parámetro de contracción, depende de una
función. Esto permite manejar con mayor grado de libertad el acercamiento al punto fijo
(cuando existe). Notamos que estructuras del espacio como completitud e incluso,
propiedades de las funciones como, conmutatividad, continuidad o contención entre los
rangos, no fueron requeridas para la obtención del resultado. Por lo tanto, podemos afirmar
que con esta investigación se ponen de manifiesto condiciones mínimas para garantizar
existencia y unicidad de punto fijo en común para un par de funciones.
Actualmente existen otras estructuras métricas como, por ejemplo, espacios con -distancia,
donde también sería interesante realizar estos mismos estudios.
Contribuciones de los autores
En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación
de créditos a autores de artículos científicos (https://casrai.org/credit/ ). Los autores declaran
sus contribuciones en la siguiente matriz:
Rivas, O.
Barrera, W.
Conceptualización
Análisis formal
Investigación
Metodología
Recursos
Validación
Redacción – revisión y edición
Conflicto de Interés
Los autores declaramos que no existe ningún tipo de Conflicto de Interés en este
trabajo.
Referencias
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strict contractive conditions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 270(1),
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